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場合の数と確率

扱うテーマ: 順列・円順列・重複順列、組合せ・重複組合せ、同じものを含む順列、確率の基本（和事象・余事象）、独立な試行の確率・反復試行、条件付き確率、期待値

難易度 1（教科書の例題レベル）
A, B, C, D, E の 5 人が円形のテーブルに座る。回転して一致する座り方は同じものとみなすとき、A と B が隣り合う座り方は何通りあるか。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
赤玉 $3$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $2$ 個の合計 $7$ 個の玉を、左から右へ一列に並べる。同じ色の玉は互いに区別しないものとする。このとき、両端の玉が同じ色になる並べ方…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
1 個のさいころを次の規則で投げ、得点を決める。 - さいころを投げて 5 以上の目が出たら、その時点で投げるのをやめ、そのとき出た目の数を得点とする。 - 4 以下の目が出たら、…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
円を中心角が等しい 6 つの扇形に分け、赤・青・黄・緑・白・黒の 6 色をすべて 1 回ずつ使って、各扇形を 1 色で塗る。回転して一致する塗り方は同じものとみなす。赤と青の扇形が…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
箱の中に、 $1, 2, 3, 4, 5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この箱からカードを 1 枚取り出して数字を記録し、カードを箱に戻す。この操作を …
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
7 個の文字 $A, A, B, B, B, C, C$ をすべて…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に $1, 2, 3, 4, 5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この袋から 2 枚のカードを同時に取り出し、次のように得点を定める。 - 取り出…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
方程式 $x + y + z = 15$ を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ のうち、 $x, y, z$ がすべて奇数であるものは何組あるか。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に、 $1$ から $10$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $10$ 枚のカードが入っている。この袋からカードを $1$ 枚取り出し、書かれた数を記録してから袋に戻す。…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋 A には赤玉 3 個と白玉 2 個が、袋 B には赤玉 2 個と白玉 4 個が入っている。1 個のさいころを 1 回投げ、1 または 2 の目が出たら袋 A を、それ以外の目が…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に、 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 個の玉が入っている。この袋から玉を 2 個同時に取り出し、取り出した 2 個の玉に書かれた数のうち…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
ケーキ店で、ショートケーキ、チーズケーキ、モンブランの 3 種類のケーキから合計 $10$ 個を買う。どの種類も少なくとも $1$ 個は買い、モンブランは $4$ 個以下にする。こ…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
3 個のさいころを同時に投げるとき、出た目の和が 10 になる確率を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上の原点に点 $P$ がある。1 個のさいころを投げ、 $1$ または $2$ の目が出たら $P$ を正の向きに $2$ だけ動かし、それ…
難易度 3（共通テストレベル）
袋の中に赤玉 $4$ 個と白玉 $3$ 個が入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出して色を確認し、その玉を袋に戻したうえで、取り出した玉と同じ色の玉を $2$ 個袋に追加する…
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上の原点に点 $P$ がある。1 個のさいころを投げ、出た目が $1$ または $2$ ならば $P$ を正の向きに $2$ だけ動かし、…
難易度 3（共通テストレベル）
$0, 1, 2, 3$ の $4$ 種類の数字を、同じ数字を何回使ってもよいものとして並べ、 $5$ 桁の正の整数を作る。ただし、最高位の数字は $0$ ではないとする。このような…
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上を動く点 $P$ が、はじめ原点 $O$ にある。1 個のさいころを投げて、 $1$ または $2$ の目が出たら …
難易度 3（共通テストレベル）
男子 $3$ 人、女子 $3$ 人、先生 $1$ 人の計 $7$ 人が、円形のテーブルのまわりに等間隔に並んだ $7$ つの席に座る。回転して一致する座り方は同じものとみなす。次の…
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上の原点に点 $P$ がある。1 個のさいころを投げ、3 の倍数の目が出たら $P$ を正の向きに $2$ だけ動かし、それ以外の目が出た…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを 5 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ が $60$ の倍数になる確…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
さいころを $1$ 回投げ、出た目を $k$ とする。中の見えない袋に赤玉 $k$ 個と白玉 $6 - k$ 個の合計 $6$ 個の玉を入れる。この袋から玉を $2$ 個同時に取り出し…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
横一列に並んだ $6$ 枚の板を、左から順に $1$ 枚ずつ、赤・青・黄・緑の $4$ 色のうちいずれか $1$ 色で塗る。ただし、次の $2$ つの条件をともに満たすように塗る。…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 から 30 までの整数の中から、異なる 4 個の整数を選ぶ。選んだ 4 個のうち、どの 2 個の差も 3 以上であり、さらに最大のものと最小のものの差が 20 以下であるような…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ が $12$ の倍数になる確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4$ の数字が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードがある。これらをよくまぜて、無作為に横 1 列に並べる。同じ数字が書かれたカードどうし…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
袋の中に $1, 2, 3, 4, 5$ の番号が書かれたカードが 1 枚ずつ、合計 5 枚入っている。次の規則でゲームを行う。 - 袋からカードを 1 枚取り出し、番号を確認する…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
区別のつかない $12$ 個の玉を、区別のつく $4$ つの箱 $A, B, C, D$ にすべて入れる。空の箱が…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
箱の中に、見た目では区別のつかない 3 枚の硬貨 $A$ , $B$ , $C$ が入っている。1 回投げたときに表が出る確率は、 $A$ が $1$ （両面とも表）、 $B$ が …
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $k$ とする。次に、赤玉 3 個と白玉 3 個の合計 6 個の玉が入った袋から、 $k$ 個の玉を同時に取り出す。取り出した玉の中に赤玉が…