場合の数と確率の問題

両端の文字が何であるかで場合分けする。両端の 2 つを除いた残りの 5 個の文字は、2 番目から 6 番目までの 5 つの位置に並べる。

**(i) 両端が $\mathrm{A}$ のとき**

中央の 5 か所に $\mathrm{B},\mathrm{B},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{C}$ を並べる。並べ方の総数は
$$\frac{5!}{3!2!}=10(\text{通り})$$
このうち 2 個の $\mathrm{C}$ が隣り合うものは、$\mathrm{CC}$ をひとまとまりと考えて $\mathrm{B},\mathrm{B},\mathrm{B},[\mathrm{CC}]$ を並べればよいので
$$\frac{4!}{3!}=4(\text{通り})$$
よって $10-4=6$ 通り。

**(ii) 両端が $\mathrm{B}$ のとき**

中央の 5 か所に $\mathrm{A},\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{C}$ を並べる。総数は
$$\frac{5!}{2!2!}=30(\text{通り})$$
2 個の $\mathrm{C}$ が隣り合うものは $\mathrm{A},\mathrm{A},\mathrm{B},[\mathrm{CC}]$ を並べて
$$\frac{4!}{2!}=12(\text{通り})$$
よって $30-12=18$ 通り。

**(iii) 両端が $\mathrm{C}$ のとき**

2 個の $\mathrm{C}$ は 1 番目と 7 番目にあるので隣り合わない。中央の 5 か所に $\mathrm{A},\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{B},\mathrm{B}$ を並べればよく
$$\frac{5!}{2!3!}=10(\text{通り})$$

(i)〜(iii) は同時に起こらないので、求める並べ方は
$$6+18+10=34(\text{通り})$$

左右の端の文字で場合分けする。

(i) 両端が A のとき：中の 5 か所に B,B,B,C,C を並べる。全体は $\frac{5!}{3!2!}=10$ 通り。C が隣り合うものは CC を 1 文字とみなして B,B,B,CC の並べ方 $\frac{4!}{3!}=4$ 通り。よって $10-4=6$ 通り。

(ii) 両端が B のとき：中の 5 か所に A,A,B,C,C を並べる。全体は $\frac{5!}{2!2!}=30$ 通り。C が隣り合うものは A,A,B,CC の並べ方 $\frac{4!}{2!}=12$ 通り。よって $30-12=18$ 通り。

(iii) 両端が C のとき：2 個の C は両端にあり隣り合わない。中の 5 か所に A,A,B,B,B を並べて $\frac{5!}{2!3!}=10$ 通り。

合計は $6+18+10=34$ 通り。

検算：(i)(ii) は余事象（C が隣り合う場合）を引いた。(i) の C が隣り合う 4 通りは、CC の位置が 4 通りあることと一致する。(iii) では C が両端なので隣り合わない。計算は一致している。