場合の数と確率の問題

方針　まず $\mathrm{a}$ 3 個と $\mathrm{b}$ 3 個の 6 文字だけを並べ、その後で $\mathrm{c}$ 2 個をすき間に挿入して考える。

挿入の条件　6 文字の列には、両端を含めて $7$ か所のすき間（文字と文字の間 $5$ か所と両端 $2$ か所）がある。$\mathrm{c}$ 2 個を入れるとき、次の 2 つが必要である。
- $\mathrm{c}$ どうしが隣り合ってはいけないので、2 個の $\mathrm{c}$ は異なるすき間に 1 個ずつ入れる。
- 6 文字の列で同じ文字が隣り合っている箇所（これを「悪い箇所」と呼ぶ）には、必ず $\mathrm{c}$ を入れなければならない。

悪い箇所の個数を $k$ とする。$\mathrm{c}$ は 2 個しかないので $k\le 2$ が必要である。
- $k=0$ のとき：$7$ か所から $2$ か所を選べばよいので $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21$ 通り。
- $k=1$ のとき：悪い箇所に $\mathrm{c}$ を 1 個入れ、残り 1 個は他の $6$ か所から選ぶので $6$ 通り。
- $k=2$ のとき：2 つの悪い箇所に 1 個ずつ入れるしかないので $1$ 通り。

**6 文字の並びを $k$ で分類する**　同じ文字が連続している部分を 1 つの「かたまり」とみなし、かたまりの個数を $r$ とする。6 文字の間は $5$ か所あり、そのうちかたまりの切れ目は $r-1$ か所なので、
$$k=5-(r-1)=6-r$$
である。また、かたまりは $\mathrm{a}$ と $\mathrm{b}$ が交互に現れる。

• $k=0$（$r=6$）：$\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ がそれぞれ 1 個ずつのかたまり 3 つずつに分かれ、交互に並ぶ。$\mathrm{ababab}$, $\mathrm{bababa}$ の $2$ 通り。
• $k=1$（$r=5$）：一方の文字が 3 つのかたまり、他方が 2 つのかたまりになる。$\mathrm{a}$ が 3 つのかたまりのとき、並びは $\mathrm{a}$ で始まり $\mathrm{a}$ で終わる。$\mathrm{a}$ の分け方は $1+1+1$ の $1$ 通り、$\mathrm{b}$ 3 個を 2 つのかたまりに分ける方法は $(1,2),(2,1)$ の $2$ 通り。よって $2$ 通り。$\mathrm{b}$ が 3 つのかたまりの場合も同様に $2$ 通りで、合計 $4$ 通り。
• $k=2$（$r=4$）：$\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ がともに 2 つのかたまりになる。分け方はそれぞれ $2$ 通りで、先頭が $\mathrm{a}$ か $\mathrm{b}$ かで $2$ 通り。よって $2\times 2\times 2=8$ 通り。

（確認：$r=3$ と $r=2$ の場合を数えるとそれぞれ $4$ 通り、$2$ 通りで、$2+4+8+4+2=20=\frac{6!}{3!3!}$ となり、6 文字の並べ方の総数と一致する。）

合計
$$2\times 21+4\times 6+8\times 1=42+24+8=74$$

よって、求める並べ方は $74$ 通りである。

まず a3個、b3個だけを1列に並べ、そのあと c2個を隙間（両端を含めて7か所）に1個ずつ入れる、という方法で数える。

並べた a, b の列で同じ文字が隣り合う箇所の数を k とする。その k か所すべてに c を入れる必要があり、c は2個しかないので k≤2 でなければならない。また c どうしが隣り合わないよう、2個の c は別々の隙間に入れる。

列の連(同じ文字の連続)の数を r とすると k=6−r である。a3個、b3個の列を r で分類する。
- r=2: 2通り
- r=3: 4通り
- r=4: 8通り
- r=5: 4通り
- r=6: 2通り

合計は 20 通りで、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ と一致する。k≤2 となるのは r≥4 の場合である。

• r=6(k=0): 7か所から異なる2か所を選ぶので $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21$ 通り。列は2通りだから $2\times 21=42$。
• r=5(k=1): 1つの c は必ず必要な隙間に入る。もう1つは残り6か所のどれでもよいので6通り。列は4通りだから $4\times 6=24$。
• r=4(k=2): 2つの c が必要な2か所に入るので1通り。列は8通りだから $8\times 1=8$。

合計は $42+24+8=74$ 通り。