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場合の数と確率の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学A 場合の数と確率

区別のつかない $12$ 個の玉を、区別のつく $4$ つの箱 $A, B, C, D$ にすべて入れる。空の箱があってもよいが、どの箱にも玉は $5$ 個以下しか入れられない。このとき、箱 $A$ に入る玉の個数が箱 $B$ に入る玉の個数より多くなるような入れ方は何通りあるか。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

箱に入る玉の個数を $a, b, c, d$ とおき、方程式の整数解の個数の問題に言い換えよう。条件 $a > b$ は、 $a$ と $b$ を入れ替える対称性を使うと扱いやすい。

ヒント 2

まず上限 $5$ 個つきの解の総数を、重複組合せと包除原理（ $6$ 個以上入る箱があるものを除く）で求める。次に $a = b$ となる解の個数を数え、「(総数 $-$ $a = b$ の個数) $\div 2$ 」を計算する。

ヒント 3

上限つきの解の総数は $_{15} C_{3} - 4 \cdot_{9} C_{3} + 6 \cdot_{3} C_{3} = 125$ である。 $a = b$ のときは $c + d = 12 - 2 a$ となるので、 $a = 0, 1, \dots, 5$ のそれぞれについて $0 \leq c, d \leq 5$ を満たす $(c, d)$ の個数を数えよう。

答えと解説

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解説を読む

箱 $A, B, C, D$ に入る玉の個数をそれぞれ $a, b, c, d$ とすると、求める入れ方の数は
$a + b + c + d = 12, 0 \leq a, b, c, d \leq 5, a > b$
を満たす整数の組 $(a, b, c, d)$ の個数に等しい。

手順1：上限つきの解の総数を求める

まず条件 $a > b$ を外し、 $a + b + c + d = 12, 0 \leq a, b, c, d \leq 5$ を満たす組の総数 $N$ を求める。

上限を考えない非負整数解の個数は、重複組合せより $_{4} H_{12} =_{15} C_{3} = 455$ 。
特定の 1 つの変数が $6$ 以上になる解を数える。例えば $a \geq 6$ のとき $a^{'} = a - 6$ とおくと $a^{'} + b + c + d = 6$ となり、解は $_{4} H_{6} =_{9} C_{3} = 84$ 個ある。変数の選び方は $4$ 通りである。
特定の 2 つの変数がともに $6$ 以上になる解は、同様に和が $12 - 12 = 0$ となるので $_{3} C_{3} = 1$ 個ある。変数の選び方は $_{4} C_{2} = 6$ 通りである。
3 つ以上の変数が $6$ 以上になることは、 $6 \times 3 = 18 > 12$ よりない。

包除原理より
$N = 455 - 4 \cdot 84 + 6 \cdot 1 = 455 - 336 + 6 = 125.$

**手順2： $a = b$ となる解を数える**

$a = b$ のとき $2 a + c + d = 12$ である。 $s = c + d = 12 - 2 a$ とおく。 $0 \leq c, d \leq 5$ で $c + d = s$ となる $(c, d)$ の個数は、 $0 \leq s \leq 5$ のとき $s + 1$ 、 $6 \leq s \leq 10$ のとき $11 - s$ 、 $s \geq 11$ のとき $0$ である。

$a = 0$ ： $s = 12$ より $0$ 個
$a = 1$ ： $s = 10$ より $1$ 個
$a = 2$ ： $s = 8$ より $3$ 個
$a = 3$ ： $s = 6$ より $5$ 個
$a = 4$ ： $s = 4$ より $5$ 個
$a = 5$ ： $s = 2$ より $3$ 個

したがって $a = b$ となる解は $0 + 1 + 3 + 5 + 5 + 3 = 17$ 個ある。

手順3：対称性を使う

$a$ と $b$ を入れ替えても条件 $a + b + c + d = 12, 0 \leq a, b, c, d \leq 5$ は変わらない。よって $a > b$ となる解と $a < b$ となる解は同じ個数ある。したがって求める個数は
$\frac{125 - 17}{2} = \frac{108}{2} = 54$
となる。

答え： $54$ 通り

別解

箱 A, B, C, D に入る玉の個数を $a, b, c, d$ とすると、 $a + b + c + d = 12$ 、 $0 \leq a, b, c, d \leq 5$ の整数解のうち $a > b$ となるものを数える。

(1) 全体の個数 $N$ を包除原理で求める。上限なしの解は $_{15} C_{3} = 455$ 通り。ある箱が $6$ 個以上になる解は、その箱から $6$ 個引いて $_{9} C_{3} = 84$ 通りで、箱の選び方が $4$ 通りなので $4 \times 84 = 336$ 通り。2 つの箱が同時に $6$ 個以上になる解は $_{3} C_{3} = 1$ 通りで、組の選び方が $6$ 通りなので $6$ 通り。3 つ以上が同時に $6$ 個以上になることはない。よって $N = 455 - 336 + 6 = 125$ 。

(2) $a = b$ となる個数 $E$ を求める。 $a = b = k$ とおくと $c + d = 12 - 2 k$ 、 $0 \leq c, d \leq 5$ 。
- $k = 0$ : $c + d = 12$ は不可能で $0$ 通り
- $k = 1$ : $c + d = 10$ より $(5, 5)$ の $1$ 通り
- $k = 2$ : $c + d = 8$ より $c = 3, 4, 5$ の $3$ 通り
- $k = 3$ : $c + d = 6$ より $c = 1, \dots, 5$ の $5$ 通り
- $k = 4$ : $c + d = 4$ より $c = 0, \dots, 4$ の $5$ 通り
- $k = 5$ : $c + d = 2$ より $3$ 通り

合計 $E = 1 + 3 + 5 + 5 + 3 = 17$ 。

(3) $a$ と $b$ の入れ替えで $a > b$ の場合と $a < b$ の場合が一対一に対応するので、求める個数は $\frac{N - E}{2} = \frac{125 - 17}{2} = 54$ 。

検算: $a = b$ の個数を別の見方で確かめても $17$ 通りで、 $125 - 17 = 108$ は偶数なので整合している。

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