場合の数と確率の問題

方針 まず条件1だけを満たす塗り方を数え、そこから「使われない色がある」ものを包除原理で取り除きます。

(1) 条件1だけを満たす塗り方

使える色が $k$ 色のとき、左端の板は $k$ 通りに塗れます。2 枚目以降は直前の板と異なる色にすればよいので、それぞれ $k-1$ 通りです。よって条件1を満たす塗り方は
$$k(k-1{)}^5\text{ 通り}$$
です。4 色すべてが使えるときは
$$4\cdot 3^5=972\text{ 通り}$$
です。

(2) 包除原理

赤・青・黄・緑の 4 色に、順に番号 $1,2,3,4$ を付けます。条件1を満たす塗り方全体を $U$ とし、番号 $i$ の色（色 $i$）を使わない塗り方の集合を $A_i$ $(i=1,2,3,4)$ とします。

• $A_i$ は残り 3 色で条件1を満たす塗り方なので、$|A_i|=3\cdot 2^5=96$ です。
• $A_i\cap A_j$ $(i\ne j)$ は 2 色で塗る場合で、2 色を交互に塗るしかありません。左端の色で決まるので $|A_i\cap A_j|=2\cdot 1^5=2$ です。
• 3 つの集合の共通部分は 1 色で塗る場合です。隣り合う板が必ず同じ色になるので、$1\cdot 0^5=0$ です。4 つの共通部分も $0$ です。

求める数は、どの $A_i$ にも属さない塗り方の数です。
$$|U|-\sum |A_i|+\sum |A_i\cap A_j|-\sum |A_i\cap A_j\cap A_k|+|A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4|$$
$$=972-{}_4{\mathrm{C}}_1\cdot 96+{}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 2-{}_4{\mathrm{C}}_3\cdot 0+0$$
$$=972-384+12=600$$

(検算)

- ちょうど 2 色を使う塗り方は、1 組の 2 色につき $2$ 通りです。
- ちょうど 3 色を使う塗り方は、1 組の 3 色につき $96-{}_3{\mathrm{C}}_2\cdot 2=90$ 通りです。
- よって、4 色すべてを使う塗り方の数を $N$ とすると、
$$972=N+{}_4{\mathrm{C}}_3\cdot 90+{}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 2=N+360+12$$
- これより $N=600$ となり、結果と一致します。

答え: $600$ 通り

隣り合う板が異なる色になる塗り方のうち、4色すべてを使うものを数える。

色を $k$ 色(指定した $k$ 色)に限った条件1を満たす塗り方は、$k(k-1{)}^5$ 通りである。

• $k=4$: $4\cdot 3^5=972$
• $k=3$: $3\cdot 2^5=96$
• $k=2$: $2\cdot 1^5=2$
• $k=1$: $1\cdot 0^5=0$

包除原理により、4色すべてを使う塗り方は
$972-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot 96+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot 2-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\cdot 0=972-384+12=600$ 通り。

検算: 使う色の個数が $4$ 色ちょうどである塗り方を、使う色の個数が $2$ 色ちょうど・$3$ 色ちょうどの場合から引いて確かめる。
- 2色ちょうどの塗り方: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot 2=12$ 通り
- 3色ちょうどの塗り方: 3色に限る塗り方 $96$ から、2色だけの塗り方 $3\cdot 2=6$ を引いて $90$ 通り。これが $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ 組あるので $360$ 通り

よって $972-12-360=600$ 通りとなり、一致する。