場合の数と確率の問題

回転して一致するものを同じとみなすので、先生の席を固定して考える。

先生から時計回りに残りの席を順に $1,2,3,4,5,6$ と番号をつける。席 $6$ と席 $1$ は先生の両隣であり、席 $6$ と席 $1$ の間には先生がいるので、席 $6$ と席 $1$ は隣り合わない。したがって、残りの $6$ 席の隣接関係は
$$1-2-3-4-5-6$$
という一列の並びと同じである。

女子の席の選び方

条件2より、女子 $3$ 人の席は、この一列の $6$ 席のうちどの $2$ つも隣り合わない $3$ 席である。そのような選び方をすべて書き出すと
$$\{1,3,5\},\{1,3,6\},\{1,4,6\},\{2,4,6\}$$
の $4$ 通りである。

条件1より、先生の両隣の席 $1$ と席 $6$ のうち、ちょうど一方が女子でなければならない。
- $\{1,3,5\}$：席 $1$ のみ女子なので適する。
- $\{1,3,6\}$：席 $1$ と席 $6$ がともに女子なので不適。
- $\{1,4,6\}$：席 $1$ と席 $6$ がともに女子なので不適。
- $\{2,4,6\}$：席 $6$ のみ女子なので適する。

よって、女子の席の選び方は $2$ 通りである。

人の並べ方

女子の席が決まると、女子 $3$ 人の並べ方は $3!=6$ 通り、残りの $3$ 席への男子 $3$ 人の並べ方は $3!=6$ 通りである。

したがって、求める座り方の数は
$$2\times 3!\times 3!=2\times 6\times 6=72\text{（通り）}$$

回転して一致するものは同じとみなすので、先生の席を固定する。先生の席から時計回りに席 $1,2,\dots ,6$ とする。席 $1$ と席 $6$ が先生の両隣である。

条件1より、席 $1,6$ の一方が女子、他方が男子である。

(i) 席 $1$ が女子、席 $6$ が男子のとき
席 $2$ は女子の隣なので男子である。残りの席 $3,4,5$ には女子 $2$ 人、男子 $1$ 人が座る。女子 $2$ 人が隣り合わないためには席 $3$ と席 $5$ が女子で、席 $4$ が男子となる。
よって性別の並びは 女・男・女・男・女・男（席 $1\sim 6$）の $1$ 通りで、条件2を満たす。

(ii) 席 $6$ が女子、席 $1$ が男子のとき
(i) と左右対称なので、性別の並びは $1$ 通り。

性別の並びは合計 $2$ 通りである。それぞれについて、女子 $3$ 人の並べ方が $3!=6$ 通り、男子 $3$ 人の並べ方が $3!=6$ 通りある。

したがって $2\times 6\times 6=72$ 通り。

検算：先生の両隣が女子・女子、または男子・男子になる並びは条件1で除外済みである。上の並びでは先生の両隣が男子 $1$ 人と女子 $1$ 人で、女子どうしも隣り合わないことを確認した。