場合の数と確率の問題

6 色を円形に並べる円順列として考える。

全体の数
異なる 6 個の円順列なので
$$(6-1)!=5!=120\text{（通り）}$$

赤と青が隣り合う塗り方の集合を $A$、黄と緑が隣り合う塗り方の集合を $B$ とする。求めるものは $120-n(A\cup B)$ である。

**$n(A)$ の計算**
赤と青をひとまとめにして 1 つのものとみると、「赤青のまとまり・黄・緑・白・黒」の 5 個の円順列で $(5-1)!=24$ 通り。まとまりの中の赤と青の並び方が $2$ 通りあるので
$$n(A)=24\times 2=48$$

**$n(B)$ の計算**
同様に、黄と緑をひとまとめにすると
$$n(B)=(5-1)!\times 2=48$$

**$n(A\cap B)$ の計算**
赤と青、黄と緑をそれぞれひとまとめにすると、「赤青のまとまり・黄緑のまとまり・白・黒」の 4 個の円順列で $(4-1)!=6$ 通り。各まとまりの中の並び方がそれぞれ $2$ 通りあるので
$$n(A\cap B)=6\times 2\times 2=24$$

まとめ
$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=48+48-24=72$$
よって、求める塗り方の数は
$$120-72=48\text{（通り）}$$

回転して一致するものを同じとみなすので、6 色の円順列は全体で $(6-1)!=120$ 通り。

$A$：赤と青が隣り合う塗り方、$B$：黄と緑が隣り合う塗り方とする。

• $|A|$：赤青を 1 つのまとまりとみなすと 5 個の円順列で $4!=24$ 通り。まとまりの中の並び方が 2 通りなので $24\times 2=48$。
• $|B|$ も同様に $48$。
• $|A\cap B|$：2 つのまとまりと残り 2 色の計 4 個の円順列で $3!=6$ 通り。各まとまりの中の並び方が $2\times 2$ 通りなので $6\times 4=24$。

包除原理より、求める数は $120-(48+48)+24=48$ 通り。

検算：赤を固定して残り 5 か所に他の色を置く。赤の両隣のどちらにも青がない配置を数える。位置を 0〜5 とし、赤を位置 0 に固定すると、青は位置 2, 3, 4 のいずれか。
青が位置 2 のとき、残る位置 1, 3, 4, 5 に黄・緑・白・黒を置く。隣り合う組は (3,4), (4,5) と (5,0), (0,1) だが、位置 0 は赤なので、黄緑が隣り合う組は (3,4), (4,5) のみ。位置 1 は位置 0（赤）と位置 2（青）に挟まれているので黄緑の隣接に関係しない。黄緑が隣り合う配置は (3,4), (4,5) の 2 組で、それぞれ 2 通りの並び方と残り 2 色の 2 通りの並び方があるので $2\times 2\times 2=8$ 通り。したがって隣り合わない配置は $24-8=16$ 通り。
青が位置 4 のときも対称で 16 通り。
青が位置 3 のとき、残る位置 1, 2, 4, 5 に置く。隣り合う組は (1,2) と (4,5) の 2 組なので、同様に $24-8=16$ 通り。
合計 $16\times 3=48$ 通りとなり、一致する。