場合の数と確率の問題

ショートケーキ、チーズケーキ、モンブランの個数をそれぞれ $x,y,z$ とする。求めるものは、
$$x+y+z=10,x\ge 1,y\ge 1,1\le z\le 4$$
を満たす整数の組 $(x,y,z)$ の個数である。

**(1) $z\le 4$ の条件を外した場合**

$x\ge 1,y\ge 1,z\ge 1$ で $x+y+z=10$ を満たす組の個数を数える。$10$ 個の○を一列に並べると、○と○の間は $9$ か所ある。そのうち $2$ か所を選んで仕切りを入れれば、3 つの部分に分けられ、各部分に少なくとも $1$ 個の○が入る。よって
$${}_9{\mathrm{C}}_2=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}=36\text{ 通り}$$
ある。

**(2) $z\ge 5$ となる場合**

$z^{\prime }=z-4$ とおくと $z^{\prime }\ge 1$ であり、$x+y+z^{\prime }=6$ となる。$x\ge 1,y\ge 1,z^{\prime }\ge 1$ を満たす組の個数は、$6$ 個の○の間 $5$ か所から $2$ か所を選ぶ方法の数に等しいので
$${}_5{\mathrm{C}}_2=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10\text{ 通り}$$
ある。

(3) 求める個数

(1) から (2) を引いて
$$36-10=26\text{ 通り}$$
となる。

(確認) $z=1,2,3,4$ のとき、$x+y=10-z$ を満たす正の整数の組はそれぞれ $9-z$ 通りある。よって $8+7+6+5=26$ となり、結果は一致する。

ショートケーキ、チーズケーキ、モンブランの個数を $x,y,z$ とする。$x+y+z=10$、$x,y,z\ge 1$、$z\le 4$ を満たす整数解の個数を求める。

$z=k$ ($k=1,2,3,4$) のとき、$x+y=10-k$ で $x,y\ge 1$ だから、解の個数は $10-k-1=9-k$ 通り。

• $z=1$: $8$ 通り
• $z=2$: $7$ 通り
• $z=3$: $6$ 通り
• $z=4$: $5$ 通り

合計は $8+7+6+5=26$ 通り。

検算: 各種類1個以上の買い方全体は ${}_9{C}_2=36$ 通り。$z\ge 5$ の場合は $z=5,6,7,8$ で $4+3+2+1=10$ 通り。よって $36-10=26$ 通りとなり、一致する。