場合の数と確率の問題

1 回投げたとき、5 以上の目が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$、4 以下の目が出る確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ です。

得点がとりうる値は $0,5,6$ です。

得点が 5 になる確率

$k$ 回目（$k=1,2,3$）に初めて 5 以上の目が出て、その目が 5 であるのは、それまでの $k-1$ 回がすべて 4 以下で、$k$ 回目に 5 が出る場合です。その確率は ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{k-1}\cdot \frac{1}{6}$ です。これらは互いに排反なので
$$P(\text{得点}=5)=\frac{1}{6}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{9+6+4}{9}=\frac{19}{54}$$

得点が 6 になる確率

同様に考えて
$$P(\text{得点}=6)=\frac{19}{54}$$

得点が 0 になる確率

3 回とも 4 以下の目が出る場合なので
$$P(\text{得点}=0)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}=\frac{16}{54}$$

（確認: $\frac{19}{54}+\frac{19}{54}+\frac{16}{54}=1$ となり、確率の和は 1 です。）

期待値
$$0\cdot \frac{16}{54}+5\cdot \frac{19}{54}+6\cdot \frac{19}{54}=\frac{95+114}{54}=\frac{209}{54}$$

よって、得点の期待値は $\frac{209}{54}$ です。

1回の試行で、5が出る確率は $\frac{1}{6}$、6が出る確率は $\frac{1}{6}$、4以下が出る確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

得点が5または6になるのは、4以下が続いたあとに5以上が出る場合である。

1回目で止まる場合の寄与: $\frac{1}{6}(5+6)=\frac{11}{6}$。
2回目で止まる場合の寄与: $\frac{2}{3}\cdot \frac{11}{6}=\frac{11}{9}$。
3回目で止まる場合の寄与: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\cdot \frac{11}{6}=\frac{4}{9}\cdot \frac{11}{6}=\frac{22}{27}$。
3回とも4以下の場合の得点は0なので寄与は0。

期待値は $\frac{11}{6}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)=\frac{11}{6}\cdot \frac{19}{9}=\frac{209}{54}$。

検算: 通分すると $\frac{11}{6}=\frac{99}{54}$、$\frac{11}{9}=\frac{66}{54}$、$\frac{22}{27}=\frac{44}{54}$。合計は $\frac{99+66+44}{54}=\frac{209}{54}$ で一致する。