場合の数と確率の問題

5 枚から 2 枚を同時に取り出す方法は全部で
$${}_5{\mathrm{C}}_2=10\text{(通り)}$$
あり、これらは同様に確からしい。

積が奇数になる場合

2 枚とも奇数のカード（$1,3,5$）のときである。その取り出し方は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通り（$\{1,3\},\{1,5\},\{3,5\}$）で、このときの得点はいずれも $0$ である。

積が偶数になる場合

残りの $10-3=7$ 通りである。それぞれの積（得点）は次のとおり。
$$\{1,2\}:2,\{1,4\}:4,\{2,3\}:6,\{2,4\}:8,$$
$$\{2,5\}:10,\{3,4\}:12,\{4,5\}:20$$

これらの得点の合計は
$$2+4+6+8+10+12+20=62$$
である。

期待値

各取り出し方の確率はどれも $\frac{1}{10}$ である。よって、得点の期待値は
$$0\times \frac{3}{10}+(2+4+6+8+10+12+20)\times \frac{1}{10}=\frac{62}{10}=\frac{31}{5}$$

したがって、求める期待値は $\frac{31}{5}$ である。

2枚の選び方は ${}_5{C}_2=10$ 通り。各組の積は次の通り。
(1,2)=2, (1,3)=3, (1,4)=4, (1,5)=5, (2,3)=6, (2,4)=8, (2,5)=10, (3,4)=12, (3,5)=15, (4,5)=20。
積が奇数になる組は (1,3), (1,5), (3,5) で、得点は 0。
積が偶数の組の得点は 2, 4, 6, 8, 10, 12, 20 で、その和は 2+4+6+8+10+12+20=62。
期待値は $62/10=31/5$。
検算：偶数の積の合計 = 全積の和 − 奇数積の和。全積の和は $\frac{(15{)}^2-55}{2}=\frac{225-55}{2}=85$。奇数積の和は 3+5+15=23。85−23=62 で一致する。したがって期待値は $\frac{62}{10}=\frac{31}{5}$。