場合の数と確率の問題

事象 $A$ を「3 回とも $1$ が出ない」、事象 $B$ を「3 回とも $5$ が出ない」とします。

求める事象「$1$ と $5$ がどちらも少なくとも 1 回ずつ出る」は、「$1$ が出ない、または $5$ が出ない」すなわち $A\cup B$ の余事象です。

各回の取り出し方は 5 通りで、どれも同様に確からしいとします。

$A$ が起こるのは、毎回 $1$ 以外の 4 枚のどれかを取り出すときなので
$$P(A)={\left(\frac{4}{5}\right)}^3=\frac{64}{125}$$
同様に
$$P(B)=\frac{64}{125}$$
$A\cap B$ は「3 回とも $2,3,4$ のいずれかが出る」事象なので
$$P(A\cap B)={\left(\frac{3}{5}\right)}^3=\frac{27}{125}$$

和事象の確率の公式より
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{64}{125}+\frac{64}{125}-\frac{27}{125}=\frac{101}{125}$$

よって求める確率は
$$1-P(A\cup B)=1-\frac{101}{125}=\frac{24}{125}$$

（確認）直接数えることもできます。3 回の数字の並びは全部で $5^3=125$ 通りです。
- $1,5$ と、$2,3,4$ のいずれか $x$ が 1 回ずつ出る場合：$x$ の選び方が 3 通り、並べ方が $3!=6$ 通りなので $18$ 通り
- $1,1,5$ の場合：$5$ の位置の選び方で $3$ 通り
- $1,5,5$ の場合：$1$ の位置の選び方で $3$ 通り

合計は $18+3+3=24$ 通りなので、確率は $\frac{24}{125}$ となり、上の結果と一致します。

3回の取り出しの全事象は $5^3=125$ 通り。
事象 $A$: 1 が少なくとも1回出る、$B$: 5 が少なくとも1回出る、とする。
$P(A\cap B)=1-P(\overline{A})-P(\overline{B})+P(\overline{A}\cap \overline{B})$
$\overline{A}$ は 1 が出ない場合で $4^3=64$ 通り、$\overline{B}$ も $64$ 通り、$\overline{A}\cap \overline{B}$ は 1 も 5 も出ない場合で $3^3=27$ 通り。
よって該当する場合の数は $125-64-64+27=24$ 通り。
確率は $\frac{24}{125}$。
検算: 1 と 5 をどちらも含む組を数える。数字の組が {1,5,x} で x が 2,3,4 のとき、並べ方は $3!=6$ 通りで $3\times 6=18$ 通り。{1,1,5} は3通り、{1,5,5} は3通り。合計 $18+3+3=24$ 通りで一致する。