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場合の数と確率の問題

難易度 3共通テストレベル数学A 場合の数と確率

袋の中に赤玉 $4$ 個と白玉 $3$ 個が入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出して色を確認し、その玉を袋に戻したうえで、取り出した玉と同じ色の玉を $2$ 個袋に追加する。続けて、この袋から玉を $1$ 個取り出す。

$2$ 回目に取り出した玉が白玉であったとき、 $1$ 回目に取り出した玉が赤玉であった条件付き確率を求めよ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$1$ 回目の玉の色で場合分けし、それぞれの場合に $2$ 回目に白玉が出る確率を考えましょう。求めるのは $P_{W_{2}} (R_{1}) = \frac{P ( R _{1} \cap W _{2} )}{P ( W _{2} )}$ です。

ヒント 2

$1$ 回目が赤玉なら袋は赤 $6$ 個・白 $3$ 個、 $1$ 回目が白玉なら袋は赤 $4$ 個・白 $5$ 個になります。

ヒント 3

$P (R_{1} \cap W_{2}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{9}$ 、 $P (W_{1} \cap W_{2}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9}$ です。これらの和が $P (W_{2})$ になります。

答えと解説

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\frac{4}{9}

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解説を読む

$1$ 回目に赤玉を取り出す事象を $R_{1}$ 、白玉を取り出す事象を $W_{1}$ 、 $2$ 回目に白玉を取り出す事象を $W_{2}$ とする。求める確率は $P_{W_{2}} (R_{1}) = \frac{P ( R _{1} \cap W _{2} )}{P ( W _{2} )}$ である。

**(i) $1$ 回目が赤玉のとき**

$P (R_{1}) = \frac{4}{7}$ である。赤玉を戻して赤玉を $2$ 個追加するので、袋の中は赤玉 $6$ 個、白玉 $3$ 個の計 $9$ 個になる。よって
$P (R_{1} \cap W_{2}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{9} = \frac{4}{21} = \frac{12}{63} .$

**(ii) $1$ 回目が白玉のとき**

$P (W_{1}) = \frac{3}{7}$ である。白玉を戻して白玉を $2$ 個追加するので、袋の中は赤玉 $4$ 個、白玉 $5$ 個の計 $9$ 個になる。よって
$P (W_{1} \cap W_{2}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} = \frac{15}{63} .$

(i), (ii) は互いに排反なので
$P (W_{2}) = \frac{12}{63} + \frac{15}{63} = \frac{27}{63} = \frac{3}{7} .$

したがって
$P_{W_{2}} (R_{1}) = \frac{P ( R _{1} \cap W _{2} )}{P ( W _{2} )} = \frac{\frac{12}{63}}{\frac{27}{63}} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} .$

別解

1回目に赤玉を取る確率は $\frac{4}{7}$ 。このとき袋は赤6個・白3個の計9個になり、2回目に白玉を取る確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ 。よって、赤→白の確率は $\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{21}$ 。
1回目に白玉を取る確率は $\frac{3}{7}$ 。このとき袋は赤4個・白5個の計9個になり、2回目に白玉を取る確率は $\frac{5}{9}$ 。よって、白→白の確率は $\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{21}$ 。
2回目が白玉である確率は $\frac{4}{21} + \frac{5}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ 。
求める条件付き確率は $\frac{4/21}{9/21} = \frac{4}{9}$ 。
検算：2回目に白を取る確率は $\frac{3}{7}$ で、対称性から1回目に白を取る確率と等しく、これは妥当である。

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