場合の数と確率の問題

6 個の玉から 2 個を同時に取り出す方法は
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15\text{ 通り}$$
あり、これらは同様に確からしい。

取り出した 2 個の数を $a<b$ とすると $X=b-a$ であり、$X$ のとりうる値は $1,2,3,4,5$ である。

$X=d$（$d=1,2,3,4,5$）となるのは、$b=a+d$ かつ $1\le a$, $a+d\le 6$ のときである。すなわち $a=1,2,\dots ,6-d$ の $6-d$ 通りある。よって
$$P(X=d)=\frac{6-d}{15}$$
となる。具体的には次のとおりである。
- $X=1$：$\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,6\}$ の 5 通り。確率は $\frac{5}{15}$
- $X=2$：$\{1,3\},\{2,4\},\{3,5\},\{4,6\}$ の 4 通り。確率は $\frac{4}{15}$
- $X=3$：$\{1,4\},\{2,5\},\{3,6\}$ の 3 通り。確率は $\frac{3}{15}$
- $X=4$：$\{1,5\},\{2,6\}$ の 2 通り。確率は $\frac{2}{15}$
- $X=5$：$\{1,6\}$ の 1 通り。確率は $\frac{1}{15}$

（確率の合計は $\frac{5+4+3+2+1}{15}=1$ となり、確かめられる。）

したがって、期待値は
$$E(X)=1\cdot \frac{5}{15}+2\cdot \frac{4}{15}+3\cdot \frac{3}{15}+4\cdot \frac{2}{15}+5\cdot \frac{1}{15}=\frac{5+8+9+8+5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$$
である。

6個から2個を同時に取り出す組合せは $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 通りで、どれも同様に確からしい。

$X=k$ となる組は $(i,i+k)$ の形で、$i=1,\dots ,6-k$ の $6-k$ 通りある。
- $X=1$: 5通り
- $X=2$: 4通り
- $X=3$: 3通り
- $X=4$: 2通り
- $X=5$: 1通り

合計は $5+4+3+2+1=15$ で、全体の組数と一致する。

期待値は
$E(X)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{15}=\frac{5+8+9+8+5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$

検算として、${\sum }_{i<j}(j-i)$ を $j$ ごとに足す。$j=2$ で 1、$j=3$ で $2+1=3$、$j=4$ で $3+2+1=6$、$j=5$ で 10、$j=6$ で 15 となり、合計は $1+3+6+10+15=35$。よって $\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$ で一致する。