場合の数と確率の問題

後ろから順に考える。

2 枚目を取り出した直後の判断

1 枚目の番号を $a$、2 枚目の番号を $b$ とする。袋には残り 3 枚があり、その番号の和は $15-a-b$ である。続けた場合、3 枚目の番号の期待値は $\frac{15-a-b}{3}$ である。やめれば得点は $b$ なので、2 枚目を取り出した直後の最適な行動をとったときの得点の期待値は
$$\max \left(b,\frac{15-a-b}{3}\right)$$
である。

**1 枚目の番号ごとに、続けた場合の期待値 $W(a)$ を求める**

2 枚目は残り 4 枚から等確率で出るので、$W(a)=\frac{1}{4}\sum _{b\ne a}\max \left(b,\frac{15-a-b}{3}\right)$ である。

• $a=1$（残り $\{2,3,4,5\}$）: $b=2$ のとき $\max (2,4)=4$、$b=3$ のとき $\max \left(3,\frac{11}{3}\right)=\frac{11}{3}$、$b=4$ のとき $\max \left(4,\frac{10}{3}\right)=4$、$b=5$ のとき $\max (5,3)=5$。よって $W(1)=\frac{1}{4}\left(4+\frac{11}{3}+4+5\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{50}{3}=\frac{25}{6}$。
• $a=2$（残り $\{1,3,4,5\}$）: $b=1$ のとき $4$、$b=3$ のとき $\frac{10}{3}$、$b=4$ のとき $4$、$b=5$ のとき $5$。よって $W(2)=\frac{1}{4}\cdot \frac{49}{3}=\frac{49}{12}$。
• $a=3$（残り $\{1,2,4,5\}$）: $b=1$ のとき $\frac{11}{3}$、$b=2$ のとき $\frac{10}{3}$、$b=4$ のとき $\max \left(4,\frac{8}{3}\right)=4$、$b=5$ のとき $5$。よって $W(3)=\frac{1}{4}\cdot 16=4$。
• $a=4$（残り $\{1,2,3,5\}$）: $b=1$ のとき $\frac{10}{3}$、$b=2$ のとき $\max (2,3)=3$、$b=3$ のとき $\max \left(3,\frac{8}{3}\right)=3$、$b=5$ のとき $5$。よって $W(4)=\frac{1}{4}\cdot \frac{43}{3}=\frac{43}{12}$。
• $a=5$ のときは、やめれば最大の $5$ 点が得られるので、やめるのが最適である。

1 枚目を取り出した直後の判断

やめた場合の得点 $a$ と、続けた場合の期待値 $W(a)$ を比べる。

• $a=1$: $1<\frac{25}{6}$ なので続ける。期待値は $\frac{25}{6}$。
• $a=2$: $2<\frac{49}{12}$ なので続ける。期待値は $\frac{49}{12}$。
• $a=3$: $3<4$ なので続ける。期待値は $4$。
• $a=4$: $4>\frac{43}{12}$ なのでやめる。期待値は $4$。
• $a=5$: やめる。期待値は $5$。

全体の期待値

1 枚目の番号は $1$ から $5$ のどれも確率 $\frac{1}{5}$ で出るので、求める期待値は
$$\frac{1}{5}\left(\frac{25}{6}+\frac{49}{12}+4+4+5\right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{50+49+48+108}{12}=\frac{1}{5}\cdot \frac{255}{12}=\frac{17}{4}$$

したがって、答えは $\frac{17}{4}$ である。

最適停止の問題として、後ろ向きに考える。

【2枚目を取り出した直後】1枚目が $a$、2枚目が $x$ のとき、続けると残り3枚から1枚引くので期待値は $\frac{15-a-x}{3}$。やめると得点は $x$。よって各場合の価値は $\max \left(x,\frac{15-a-x}{3}\right)$。

【1枚目を取り出した直後】1枚目が $a$ のとき、続けた場合の期待値は、残り4枚の $x$ について上の価値の平均。
- $a=1$: $x=2,3,4,5$ で $4,\frac{11}{3},4,5$。和 $\frac{50}{3}$、平均 $\frac{25}{6}$。
- $a=2$: $x=1,3,4,5$ で $4,\frac{10}{3},4,5$。和 $\frac{49}{3}$、平均 $\frac{49}{12}$。
- $a=3$: $x=1,2,4,5$ で $\frac{11}{3},\frac{10}{3},4,5$。和 $16$、平均 $4$。
- $a=4$: $x=1,2,3,5$ で $\frac{10}{3},3,3,5$。和 $\frac{43}{3}$、平均 $\frac{43}{12}$。
- $a=5$: 続けた場合の期待値は $5$ より小さい（残り $1,2,3,4$ での価値は $3,\frac{8}{3},3,4$ で平均は約3）。

1枚目で $\max (a,\text{続ける})$ をとると、$a=1,2,3$ は続けて $\frac{25}{6},\frac{49}{12},4$、$a=4$ はやめて $4$、$a=5$ はやめて $5$。

期待値は
$\frac{1}{5}\left(\frac{50}{12}+\frac{49}{12}+\frac{48}{12}+\frac{48}{12}+\frac{60}{12}\right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{255}{12}=\frac{17}{4}$。

検算：各値を小数で足すと $4.1667+4.0833+4+4+5=21.25$、これを5で割ると $4.25$ で一致する。