場合の数と確率の問題

事象を次のように定める。
- $E$：1〜3 回目がすべて表である
- $F$：1〜4 回目がすべて表である

$F$ が起これば $E$ も起こるので $E\cap F=F$ である。よって求める確率は
$$P_E(F)=\frac{P(E\cap F)}{P(E)}=\frac{P(F)}{P(E)}$$
である。

硬貨はそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で選ばれ、選んだ硬貨を投げた各回の結果は互いに独立である。

**$P(E)$ の計算**
$$P(E)=\frac{1}{3}\left(1^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\right)=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}\right)$$
分母を $216$ にそろえると $1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}=\frac{216+27+8}{216}=\frac{251}{216}$ なので
$$P(E)=\frac{1}{3}\cdot \frac{251}{216}=\frac{251}{648}.$$

**$P(F)$ の計算**
$$P(F)=\frac{1}{3}\left(1^4+{\left(\frac{1}{2}\right)}^4+{\left(\frac{1}{3}\right)}^4\right)=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}\right)$$
分母を $1296$ にそろえると $1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}=\frac{1296+81+16}{1296}=\frac{1393}{1296}$ なので
$$P(F)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1393}{1296}=\frac{1393}{3888}.$$

求める確率
$$P_E(F)=\frac{1393}{3888}\cdot \frac{648}{251}=\frac{1393}{6\cdot 251}=\frac{1393}{1506}.$$
$1393=7\cdot 199$、$1506=2\cdot 3\cdot 251$ であり、共通の素因数はないので、これ以上約分できない。

（別解）3 回とも表が出たという条件のもとで、取り出した硬貨が $A,B,C$ である確率は、それぞれ $216:27:8$ の比になる。つまり $\frac{216}{251},\frac{27}{251},\frac{8}{251}$ である。したがって
$$\frac{216}{251}\cdot 1+\frac{27}{251}\cdot \frac{1}{2}+\frac{8}{251}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1296+81+16}{6\cdot 251}=\frac{1393}{1506}$$
となり、同じ結果が得られる。

答え：$\frac{1393}{1506}$

取り出した硬貨が $A,B,C$ である事前確率はそれぞれ $\frac{1}{3}$。3回とも表が出る確率は、$A$: $1$、$B$: $\frac{1}{8}$、$C$: $\frac{1}{27}$。

全体: $\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}\right)$。$1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}=\frac{216+27+8}{216}=\frac{251}{216}$。

ベイズの定理より、3回表のもとで各硬貨である確率は、$A$: $\frac{216}{251}$、$B$: $\frac{27}{251}$、$C$: $\frac{8}{251}$。

4回目に表が出る確率は
$\frac{216}{251}\cdot 1+\frac{27}{251}\cdot \frac{1}{2}+\frac{8}{251}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{251}\left(216+\frac{27}{2}+\frac{8}{3}\right)$。
$216+\frac{27}{2}+\frac{8}{3}=\frac{1296+81+16}{6}=\frac{1393}{6}$。

よって確率は $\frac{1393}{6\cdot 251}=\frac{1393}{1506}$。

検算: 4回連続表の確率は $\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}\right)$。$1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}=\frac{1296+81+16}{1296}=\frac{1393}{1296}$。3回連続表は $\frac{1}{3}\cdot \frac{251}{216}$。比は $\frac{1393}{1296}\cdot \frac{216}{251}=\frac{1393}{6\cdot 251}=\frac{1393}{1506}$。一致。

$1393=7\cdot 199$、$1506=2\cdot 3\cdot 251$ なので既約。