場合の数と確率の問題

目の出方は全部で $6^4=1296$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

$12=4\cdot 3$ で、$4$ と $3$ は互いに素なので、積 $N=a_1{a}_2{a}_3{a}_4$ が $12$ の倍数であることは「$N$ が $3$ の倍数」かつ「$N$ が $4$ の倍数」であることと同値である。そこで余事象を考え、
- $A$：$N$ が $3$ の倍数でない
- $B$：$N$ が $4$ の倍数でない

とおくと、求める確率は $1-P(A\cup B)$ であり、$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ である。

**$A$ の場合の数**　$N$ が $3$ の倍数でないのは、4 回とも $3,6$ 以外の目 $\{1,2,4,5\}$ が出るときなので $4^4=256$ 通り。

**$B$ の場合の数**　各目に含まれる素因数 $2$ の個数は、$1,3,5$ が $0$ 個、$2,6$ が $1$ 個、$4$ が $2$ 個である。$N$ が $4$ の倍数でないのは、$N$ に含まれる $2$ の個数が $1$ 個以下のときである。
- $0$ 個：4 回とも奇数の目で $3^4=81$ 通り
- $1$ 個：4 回のうち 1 回だけ $2$ または $6$、残り 3 回は奇数の目で ${}_4{\mathrm{C}}_1\cdot 2\cdot 3^3=216$ 通り

よって $81+216=297$ 通り。

**$A\cap B$ の場合の数**　使える目は $\{1,2,4,5\}$ で、さらに $2$ の個数が $1$ 個以下なので $4$ は使えず、$2$ は高々 1 回である。
- $2$ が出ない：4 回とも $\{1,5\}$ で $2^4=16$ 通り
- $2$ がちょうど 1 回：${}_4{\mathrm{C}}_1\cdot 2^3=32$ 通り

よって $16+32=48$ 通り。

したがって $A\cup B$ の場合の数は
$$256+297-48=505$$
であり、求める確率は
$$1-\frac{505}{1296}=\frac{791}{1296}.$$
($791=7\cdot 113$、$1296=2^4\cdot 3^4$ なので、これ以上約分できない。)

積が $12=4\cdot 3$ の倍数になる条件は、「積に含まれる素因数 2 が 2 個以上」かつ「3 の倍数の目が少なくとも 1 回出る」ことである。全事象は $6^4=1296$ 通り。

A を「素因数 2 の個数の合計が 2 未満」、B を「3 の倍数の目（3, 6）が出ない」とし、余事象を使って数える。

・B：各回 $\{1,2,4,5\}$ の 4 通りなので $4^4=256$ 通り。

・A：素因数 2 の個数は 1→0、2→1、3→0、4→2、5→0、6→1。
合計 0：すべて $\{1,3,5\}$ で $3^4=81$ 通り。
合計 1：2 か 6 がちょうど 1 回で残りは $\{1,3,5\}$ なので $4\cdot 2\cdot 3^3=216$ 通り。
よって A は $81+216=297$ 通り。

・A かつ B：目は $\{1,2,4,5\}$ のみ。
合計 0：$\{1,5\}$ のみで $2^4=16$ 通り。
合計 1：2 がちょうど 1 回で残りは $\{1,5\}$ なので $4\cdot 2^3=32$ 通り。
よって $16+32=48$ 通り。

条件を満たす場合の数は $1296-297-256+48=791$ 通り。

確率は $\frac{791}{1296}$。$791=7\cdot 113$ で $1296=2^4\cdot 3^4$ なので既約である。