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場合の数と確率の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学A 場合の数と確率

1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ と素因数分解し、積が $60$ の倍数になるための条件を「 $5$ が出る」「 $3$ の倍数が出る」「素因数 $2$ が 2 個以上」の 3 つに分けましょう。直接数えるより、どれかが成り立たない事象（和事象）を数えて余事象をとる方が見通しがよくなります。

ヒント 2

$A$ ： $5$ が出ない、 $B$ ： $3$ も $6$ も出ない、 $C$ ：素因数 $2$ の個数が $1$ 以下、とおき、包含と排除の原理 $n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (B \cap C) - n (C \cap A) + n (A \cap B \cap C)$ を使います。 $C$ では目 $4$ が使えず、 $2$ と $6$ は合わせて 1 回までしか出られないことに注意しましょう。

ヒント 3

$n (A) = 625$ 、 $n (B) = 256$ 、 $n (C) = 81 + 216 = 297$ 、 $n (A \cap B) = 81$ です。残りの $n (A \cap C)$ 、 $n (B \cap C)$ 、 $n (A \cap B \cap C)$ も、素因数 $2$ の個数が $0$ の場合と $1$ の場合に分けて数えましょう。

答えと解説

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\frac{161}{648}

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解説を読む

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ なので、積が $60$ の倍数になるのは、次の 3 条件がすべて成り立つときである。

条件 (i)： $5$ の目が少なくとも 1 回出る
条件 (ii)： $3$ または $6$ の目が少なくとも 1 回出る（ $3$ の倍数の目は $3, 6$ のみ）
条件 (iii)：積に含まれる素因数 $2$ の個数が $2$ 以上（目 $2, 6$ は $2$ を 1 個、目 $4$ は $2$ を 2 個含む）

目の出方は全部で $6^{4} = 1296$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

それぞれの条件が成り立たない事象を
- $A$ ： $5$ の目が 1 回も出ない
- $B$ ： $3$ も $6$ も 1 回も出ない
- $C$ ：積に含まれる素因数 $2$ の個数が $1$ 以下

とおく。求める事象は $A \cup B \cup C$ の余事象である。各事象の場合の数 $n (\cdot)$ を求める。

** $n (A)$ **：目は ${1, 2, 3, 4, 6}$ から選ぶので $5^{4} = 625$ 。

** $n (B)$ **：目は ${1, 2, 4, 5}$ から選ぶので $4^{4} = 256$ 。

** $n (C)$ **： $4$ は使えない（1 個で $2$ が 2 個になる）。
- $2$ の個数が $0$ ：目は ${1, 3, 5}$ から選ぶので $3^{4} = 81$ 。
- $2$ の個数が $1$ ：4 回のうち 1 回だけ $2$ か $6$ で、残り 3 回は ${1, 3, 5}$ 。 $4 \times 2 \times 3^{3} = 216$ 。

よって $n (C) = 81 + 216 = 297$ 。

** $n (A \cap B)$ **：目は ${1, 2, 4}$ から選ぶので $3^{4} = 81$ 。

** $n (A \cap C)$ **： $5$ を使わず、 $2$ の個数が $1$ 以下。
- $2$ の個数 $0$ ：目は ${1, 3}$ から選ぶので $2^{4} = 16$ 。
- $2$ の個数 $1$ ：1 回だけ $2$ か $6$ 、残りは ${1, 3}$ 。 $4 \times 2 \times 2^{3} = 64$ 。

よって $n (A \cap C) = 80$ 。

** $n (B \cap C)$ **：目は ${1, 2, 4, 5}$ から選び、 $2$ の個数が $1$ 以下。
- $2$ の個数 $0$ ：目は ${1, 5}$ から選ぶので $2^{4} = 16$ 。
- $2$ の個数 $1$ ：1 回だけ $2$ 、残りは ${1, 5}$ 。 $4 \times 1 \times 2^{3} = 32$ 。

よって $n (B \cap C) = 48$ 。

** $n (A \cap B \cap C)$ **：目は ${1, 2, 4}$ から選び、 $2$ の個数が $1$ 以下。
- すべて $1$ の場合が $1$ 通り。
- 1 回だけ $2$ で残りが $1$ の場合が $4$ 通り。

よって $n (A \cap B \cap C) = 5$ 。

包含と排除の原理より
$n (A \cup B \cup C) = 625 + 256 + 297 - 81 - 80 - 48 + 5 = 974$

したがって、積が $60$ の倍数になる目の出方は
$1296 - 974 = 322 通り$
であり、求める確率は
$\frac{322}{1296} = \frac{161}{648}$

（検算）条件 (i)(ii) を満たす場合は $1296 - 625 - 256 + 81 = 496$ 通りある。このうち (iii) を満たさない場合を直接数える。
- $2$ の個数 $0$ ：目は ${1, 3, 5}$ で $5$ と $3$ を両方含むので、 $81 - 16 - 16 + 1 = 50$ 通り。
- 1 回だけ $6$ ：残り 3 回は ${1, 3, 5}$ で $5$ を含むので、 $4 \times (27 - 8) = 76$ 通り。
- 1 回だけ $2$ ：残り 3 回は ${1, 3, 5}$ で $3$ と $5$ を含むので、 $4 \times (27 - 8 - 8 + 1) = 48$ 通り。

合計は $50 + 76 + 48 = 174$ 通りで、 $496 - 174 = 322$ となり一致する。

別解

60=4·3·5 なので、積が 60 の倍数になる条件は次の 3 つを同時に満たすことである。
(A) 5 の目が少なくとも 1 回出る。
(B) 3 または 6 の目が少なくとも 1 回出る。
(C) 2 の指数の合計が 2 以上である（2 は指数 1、4 は指数 2、6 は指数 1、他は 0）。

全 $6^{4} = 1296$ 通りのうち、面の集合 S からのみ出る目の列で (C) を満たすものの個数を N(S) とする。求める個数は、包除原理より
N(全部) − N(5 なし) − N(3,6 なし) + N(5 も 3,6 もなし)。

(C) を満たさない列は、2 の指数の合計が 0 または 1 の列である。
・全部の目：指数 0 の目は 1,3,5 の 3 個、指数 1 の目は 2,6 の 2 個。(C) を満たさない列は $3^{4} + 4 \cdot 2 \cdot 3^{3} = 297$ 。よって N=1296−297=999。
・5 なし（目は 1,2,3,4,6）：指数 0 は 1,3 の 2 個、指数 1 は 2,6 の 2 個。(C) を満たさない列は $2^{4} + 4 \cdot 2 \cdot 2^{3} = 80$ 。よって N=625−80=545。
・3,6 なし（目は 1,2,4,5）：指数 0 は 1,5 の 2 個、指数 1 は 2 の 1 個。(C) を満たさない列は $2^{4} + 4 \cdot 1 \cdot 2^{3} = 48$ 。よって N=256−48=208。
・5 も 3,6 もなし（目は 1,2,4）：指数 0 は 1 の 1 個、指数 1 は 2 の 1 個。(C) を満たさない列は $1 + 4 = 5$ 。よって N=81−5=76。

求める個数は 999−545−208+76=322 通り。
確率は $\frac{322}{1296} = \frac{161}{648}$ 。

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