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場合の数と確率の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学A 場合の数と確率

1 個のさいころを 5 回続けて投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ とする。積 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ と素因数分解し、「60 の倍数でない」という余事象を 3 つの事象の和事象として表してみよう。

ヒント 2

事象 $A$ ：素因数 $2$ が 1 個以下、 $B$ ： $3$ の倍数でない、 $C$ ： $5$ の倍数でない、とおいて包除原理 $n (A \cup B \cup C) = \sum n (A) - \sum n (A \cap B) + n (A \cap B \cap C)$ を使う。素因数 $2$ が 1 個以下とは「 $4$ が出ず、 $2, 6$ が合わせて高々 1 回」のことである。

ヒント 3

$n (A) = 3^{5} + 5 \cdot 2 \cdot 3^{4} = 1053$ 、 $n (B) = 4^{5} = 1024$ 、 $n (C) = 5^{5} = 3125$ となる。残りの共通部分 $A \cap B$ 、 $A \cap C$ 、 $B \cap C$ 、 $A \cap B \cap C$ も、使える目の集合を決めてから同じように数えよう。

答えと解説

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\frac{3115}{7776}

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解説を読む

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ なので、積が $60$ の倍数になるのは、次の 3 条件がすべて成り立つときである。

積に含まれる素因数 $2$ の個数が $2$ 以上
積が $3$ の倍数
積が $5$ の倍数

そこで、それぞれの否定を事象として

$A$ ：積に含まれる素因数 $2$ の個数が $1$ 以下
$B$ ：積が $3$ の倍数でない（ $3$ と $6$ が一度も出ない）
$C$ ：積が $5$ の倍数でない（ $5$ が一度も出ない）

とおく。求める確率は $1 - P (A \cup B \cup C)$ である。目の出方は全部で $6^{5} = 7776$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

各目に含まれる素因数 $2$ の個数は、 $1, 3, 5$ が $0$ 個、 $2, 6$ が $1$ 個、 $4$ が $2$ 個である。したがって、素因数 $2$ の個数が $1$ 以下になるのは、「 $4$ が出ず、 $2$ または $6$ が出る回数が $1$ 回以下」のときである。

** $n (A)$ **
- すべて奇数のとき： $3^{5} = 243$ 通り
- $2$ または $6$ がちょうど 1 回で、残りが奇数のとき： $5 \cdot 2 \cdot 3^{4} = 810$ 通り

よって $n (A) = 243 + 810 = 1053$ である。

** $n (B)$ **：目は ${1, 2, 4, 5}$ から出るので $n (B) = 4^{5} = 1024$ である。

** $n (C)$ **：目は ${1, 2, 3, 4, 6}$ から出るので $n (C) = 5^{5} = 3125$ である。

** $n (A \cap B)$ **：目は ${1, 2, 4, 5}$ から出て、 $4$ は出ず、 $2$ は高々 1 回である。
- すべて ${1, 5}$ のとき： $2^{5} = 32$ 通り
- $2$ がちょうど 1 回で、残りが ${1, 5}$ のとき： $5 \cdot 2^{4} = 80$ 通り

よって $n (A \cap B) = 112$ である。

** $n (A \cap C)$ **：目は ${1, 2, 3, 4, 6}$ から出て、 $4$ は出ず、 $2, 6$ は合わせて高々 1 回である。
- すべて ${1, 3}$ のとき： $2^{5} = 32$ 通り
- $2$ または $6$ がちょうど 1 回で、残りが ${1, 3}$ のとき： $5 \cdot 2 \cdot 2^{4} = 160$ 通り

よって $n (A \cap C) = 192$ である。

** $n (B \cap C)$ **：目は ${1, 2, 4}$ から出るので $n (B \cap C) = 3^{5} = 243$ である。

** $n (A \cap B \cap C)$ **：目は ${1, 2, 4}$ から出て、 $4$ は出ず、 $2$ は高々 1 回である。
- すべて $1$ のとき： $1$ 通り
- $2$ がちょうど 1 回のとき： $5$ 通り

よって $n (A \cap B \cap C) = 6$ である。

包除原理より
$n (A \cup B \cup C) = 1053 + 1024 + 3125 - 112 - 192 - 243 + 6 = 4661$
となる。したがって、積が $60$ の倍数になる目の出方は
$7776 - 4661 = 3115 通り$
である。 $3115 = 5 \cdot 7 \cdot 89$ 、 $7776 = 2^{5} \cdot 3^{5}$ より、これ以上約分できない。

よって、求める確率は
$\frac{3115}{7776}$
である。

別解

$60 = 4 \cdot 3 \cdot 5$ なので、積が60の倍数になる条件は次の3つを同時に満たすことである。
A: 5の目が少なくとも1回出る。
B: 3または6の目が少なくとも1回出る。
C: 積に含まれる因数2の個数が2以上（2の目と6の目は因数2を1個、4の目は2個もつ）。

全事象は $6^{5} = 7776$ 通り。余事象の和事象 $A^{c} \cup B^{c} \cup C^{c}$ を包除原理で数える。

$∣ A^{c} ∣$ : 5を使わない列。 $5^{5} = 3125$ 。
$∣ B^{c} ∣$ : 3,6を使わない列（目は1,2,4,5）。 $4^{5} = 1024$ 。
$∣ C^{c} ∣$ : 因数2が0個または1個の列。4は使えない。因数2が0個の目は1,3,5の3種、1個の目は2,6の2種。全部が因数2なしの列は $3^{5} = 243$ 、ちょうど1つが2か6の列は $5 \cdot 2 \cdot 3^{4} = 810$ 。合計1053。
$∣ A^{c} \cap B^{c} ∣$ : 目は1,2,4。 $3^{5} = 243$ 。
$∣ A^{c} \cap C^{c} ∣$ : 目は1,2,3,6（4は不可）で、因数2なしが1,3、因数2を1個もつのが2,6。 $2^{5} + 5 \cdot 2 \cdot 2^{4} = 32 + 160 = 192$ 。
$∣ B^{c} \cap C^{c} ∣$ : 目は1,2,4,5で、4は不可。因数2なしが1,5、因数2を1個もつのが2。 $2^{5} + 5 \cdot 1 \cdot 2^{4} = 32 + 80 = 112$ 。
$∣ A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c} ∣$ : 目は1,2,4で、4は不可。 $1 + 5 = 6$ 。

和事象は $3125 + 1024 + 1053 - 243 - 192 - 112 + 6 = 4661$ 。

よって条件を満たす列は $7776 - 4661 = 3115$ 通りで、確率は $\frac{3115}{7776}$ 。
$3115$ は奇数で各桁の和が10なので3の倍数でなく、 $7776 = 2^{5} \cdot 3^{5}$ と互いに素。したがってこれ以上約分できない。

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