場合の数と確率の問題
数直線上の原点に点 がある。1 個のさいころを投げ、 または の目が出たら を正の向きに だけ動かし、それ以外の目が出たら を負の向きに だけ動かす。この試行を 回繰り返す。 回の試行を終えたときに が原点にあり、かつ 回の試行を終えた時点では が原点にない確率を求めよ。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
正の向きに動いた回数を とおき、 回後の の座標を と で表してみよう。求める確率は「6 回後に原点にある確率」から、そのうち「3 回後にも原点にある」場合の確率を引けばよい。
ヒント 2
回後の座標は である。6 回後に原点にあるのは 、3 回後に原点にあるのは のときである。反復試行の確率 を使おう。
ヒント 3
6 回後に原点にある確率は である。3 回で原点に戻る確率は なので、3 回後にも 6 回後にも原点にある確率は になる。
答えと解説
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解説を読む
1 回の試行で正の向きに 動く確率は 、負の向きに 動く確率は である。各回の試行は独立である。
回の試行のうち正の向きに動いた回数を とすると、 の座標は
である。
6 回後に原点にある確率
より 。よって、その確率は
3 回後にも 6 回後にも原点にある確率
3 回後に原点にあるのは 、すなわち のときである。その確率は
原点から出発して、続く 3 回で原点に戻る確率も同様に である。前半 3 回と後半 3 回の試行は独立なので、求める確率は
なお、3 回後に原点にあり、かつ 6 回後にも原点にある場合は、すべて「6 回後に原点にある」場合に含まれている。
答え
「6 回後に原点にある」確率から「3 回後にも原点にある」確率を引いて
別解
1回の試行で、 動く確率は 、 動く確率は である。
6回の試行で が 回、 が 回とすると、位置は となる。これが になるのは のときである。よって、6回後に原点にある確率は
。
次に、3回後にも原点にある場合を考える。3回で が 回なら位置は なので、原点にあるのは のときである。その確率は
。
残りの3回でも原点に戻る確率は同様に である。したがって、3回後と6回後の両方で原点にある確率は
。
求める確率は、6回後に原点にある確率から、3回後にも原点にある確率を引いたものである。
。
検算として、3回後に原点にない場合を直接数える。6回で がちょうど2回となる並べ方は15通りで、そのうち前半3回に がちょうど1回含まれるものは 通りである。残りの 通りが条件を満たす。各並べ方の確率は なので、。これは上の結果と一致する。