場合の数と確率の問題

1 回の試行で $\mathrm{P}$ が $+2$ 動く確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$、$-1$ 動く確率は $\frac{2}{3}$ である。以下、$+2$ の移動を「上」、$-1$ の移動を「下」と呼ぶ。

6 回後に原点にある条件

6 回のうち上が $k$ 回とすると、位置は $2k-(6-k)=3k-6$ である。これが $0$ になるのは $k=2$ のときである。よって上 $2$ 回・下 $4$ 回の並びを考える。並び方は全部で ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、どの並びも起こる確率は
$${\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{1}{9}\cdot \frac{16}{81}=\frac{16}{729}$$
である。

途中で原点にある場合

$j$ 回目の直後までに上が $u$ 回あるとき、位置は $2u-(j-u)=3u-j$ である。$1\leqq j\leqq 5$ でこれが $0$ になるのは $j=3u$ のときで、上は全体で $2$ 回しかないから $u\leqq 2$。$u=1$ のとき $j=3$、$u=2$ のとき $j=6$（範囲外）、$u=0$ のとき $j=0$（範囲外）。

したがって途中で原点に戻るのは「最初の $3$ 回のうち上がちょうど $1$ 回」の場合に限られる。その並びの数は、最初の 3 回の中で上の位置を選ぶのが $3$ 通り、残りの上を後半 3 回の中で選ぶのが $3$ 通りで、$3\times 3=9$ 通り。

条件を満たす並び

$15-9=6$ 通りである（実際、上 2 回がともに最初の 3 回にある ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りと、ともに後半 3 回にある ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通り）。

よって求める確率は
$$6\times \frac{16}{729}=\frac{96}{729}=\frac{32}{243}$$

1回の試行で、$+2$ 動く確率は $\frac{1}{3}$、$-1$ 動く確率は $\frac{2}{3}$ である。

6回で原点に戻るとき、$+2$ の回数を $a$ とすると $2a-(6-a)=0$ より $a=2$ である。よって $+2$ が2回、$-1$ が4回となる。

1〜5回目の直後に原点にある場合を考える。$k$ 回目の直後に原点にあるには、$+2$ が $j$ 回、$-1$ が $2j$ 回で $k=3j$ でなければならない。したがって、1〜5回目で原点にありうるのは3回目だけである。

この2回の $+2$ と4回の $-1$ の並べ方は全部で $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 通り。

3回目の直後に原点にある並べ方は、最初の3回に $+2$ が1回、$-1$ が2回あり（3通り）、残りの3回も同様（3通り）なので $3\times 3=9$ 通り。

よって条件を満たす並べ方は $15-9=6$ 通りである。

それぞれの確率は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{729}$ なので、求める確率は
$6\times \frac{16}{729}=\frac{96}{729}=\frac{32}{243}$。

検算：条件を満たす列は、最初の3回が $+2$ を含まない（$-1$ が3回）か、あるいは3回目が原点以外になる並びである。列挙すると、UUDDDD、UDUDDD、DUUDDD、DDDUUD、DDDUDU、DDDDUU の6通りとなり、一致する。