場合の数と確率の問題
数直線上を動く点 が、はじめ原点 にある。1 個のさいころを投げて、 または の目が出たら を正の向きに だけ動かし、 の目が出たら を負の向きに だけ動かす。この試行を 回繰り返す。 回の試行を終えたとき が原点にあり、かつ 回目から 回目までのどの試行の直後にも の座標が負にならない確率を求めよ。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず「6 回後に原点にある」ためには、正の向きに動く回数が何回であればよいかを考えましょう。
ヒント 2
正の向きに動く回数を とすると、6 回後の座標は です。これより と決まります。あとは を 2 回、 を 4 回並べる並び方のうち、途中で座標が負にならないものを数えます。
ヒント 3
1 回目に 動くとすぐに負になるので、1 回目は に限ります。残り 5 回のうち、2 回目の がどこに入れば途中で負にならないかを調べましょう。条件をみたす並び方は全部で 3 通りです。
答えと解説
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解説を読む
回の試行で、 が 動く確率は 、 動く確率は である。以下、 動くことを 、 動くことを と表す。
6 回後に原点にある条件
6 回のうち が 回とすると、 は 回なので、6 回後の座標は
である。これが になるのは のときに限る。よって、 が 回、 が 回である。
途中で負にならない並び方を数える
1 回目が だと、直後の座標が になってしまう。したがって 1 回目は でなければならず、1 回目の直後の座標は である。
残りの 5 回( 回目〜 回目)には が 1 回、 が 4 回含まれる。2 回目の が 回目()にあるとする。
- 回目から 回目までは、 が 回続く。その間に座標は から まで減る。これが 以上であるためには が必要である。
- 回目の直後の座標は である。その後の 回はすべて で、座標は ずつ減って最後にちょうど になる。したがって途中で負になることはない。
よって条件をみたすのは の 通りで、具体的には
である。
確率の計算
各並び方は を 回、 を 回含むので、1 つの並び方が起こる確率は
である。これらは互いに排反なので、求める確率は
となる。
別解
さいころの目が 1 か 2 である確率は 、3〜6 である確率は である。 の移動を 回、 の移動を 回とすると、6 回後に原点にいる条件は より である。よって が 2 回、 が 4 回となる。
を U、 を D と書く。どの時点でも座標が 以上でなければならない。
- 1 回目が D だと座標が になるので、1 回目は U である。
- 2 回目の U の前に D が 回続くとすると、その時点の座標は より である。
列は U, D^a, U, D^b () の形になる。2 回目の U の後の座標は で、D を 回続けると まで下がるだけなので、負にはならない。
条件を満たす列は の 3 通りである。
どの列も確率は である。
よって求める確率は である。
検算として、U が 2 回の列は全部で 通りある。そのうち 1 回目が U の列は 5 通りで、これらのうち となる 2 通りを除くと 3 通りになり、上の結果と一致する。