場合の数と確率の問題
数直線上の原点に点 がある。1 個のさいころを投げ、3 の倍数の目が出たら を正の向きに だけ動かし、それ以外の目が出たら を負の向きに だけ動かす。この操作を 回続けて行う。
回の操作を終えたとき が原点にあり、かつ 回目から 回目までのどの操作の直後にも の座標が 以下になっていない確率を求めよ。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず、6 回後に原点にあるためには の移動が何回必要かを求めよう。そのうえで、途中の条件を満たす移動の順序を数えよう。
ヒント 2
回目までに の移動が 回あれば、座標は と表せる。条件は、すべての について が成り立つことである。
ヒント 3
の移動はちょうど 2 回である。それが起こる回を とすると、条件は かつ となる。この組を数え、1 通りあたりの確率 を掛ければよい。
答えと解説
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解説を読む
1 回の操作で が 動く（3 の倍数の目が出る）確率は 、 動く確率は である。
最後に原点にある条件
6 回のうち の移動が 回あったとすると、最終的な座標は
である。これが になるのは のときである。したがって、 の移動はちょうど 2 回、 の移動は 4 回である。
**途中で 以下にならない条件**
回目の操作の直後までに の移動が 回あったとする。このとき残りの 回は の移動なので、座標は
である。条件は、 のすべてで 、すなわち が成り立つことである。 ごとに調べる。
- ： となり、常に成り立つ。
- ： より、 が必要である。つまり、1 回目の は 2 回目までに起こらなければならない。
- ： より が必要である。つまり、2 回目の は 5 回目までに起こらなければならない。
- ： なので となり、成り立つ。
の移動が起こる回を 回目と 回目（）とすると、条件は かつ である。
- のとき、 の 4 通りある。
- のとき、 の 3 通りある。
よって、条件を満たす移動の順序は全部で 通りである。
確率
各試行は独立なので、どの順序についても、その順序で起こる確率は
である。これらは互いに排反なので、求める確率は
である。
別解
さいころの目が 3 の倍数となる確率は 、そうでない確率は である。3 の倍数が出る回数を とすると、6 回後の座標は である。これが になるのは のときで、+2 が 2 回、−1 が 4 回となる。
このうち、どの時点でも座標が 以上であるものを数える。
+2 を U、−1 を D と書く。1 回目の U の前に D が 回、1 回目と 2 回目の U の間に D が 回、2 回目の U の後に D が 回あるとすると、 である。
- 1 回目の U の前の座標は最小で なので、 が必要。
- U の後の座標は 。続く D の後の最小値は で、これが 以上なので が必要。
- 2 回目の U の後の座標は で、そこから D が 回続いて最後は になる。この間の座標は常に 以上なので条件を満たす。
場合分けすると次のとおり。
- のとき、 の 4 通り()。
- のとき、 の 3 通り()。
合計 7 通りである。
確認として、全体は 通りで、 の場合は 通り(U の位置が から 2 つ)ある。 のものは 通りで、そのうち を破るものは と の 2 通りなので、 通りとなり一致する。
各系列の確率は なので、求める確率は である。