場合の数と確率の問題

両端の玉の色で場合を分けます。両端の $2$ 個を決めると、残りの $5$ 個の玉を間の $5$ か所に並べることになります。

(i) 両端がともに赤玉のとき

間に並べる玉は、赤玉 $1$ 個、白玉 $2$ 個、青玉 $2$ 個です。並べ方は
$$\frac{5!}{1!2!2!}=\frac{120}{4}=30(\text{通り})$$

(ii) 両端がともに白玉のとき

間に並べる玉は、赤玉 $3$ 個、青玉 $2$ 個です。並べ方は
$$\frac{5!}{3!2!}=\frac{120}{12}=10(\text{通り})$$

(iii) 両端がともに青玉のとき

間に並べる玉は、赤玉 $3$ 個、白玉 $2$ 個です。(ii) と同様に $10$ 通りです。

(i)〜(iii) は同時には起こらないので、和の法則により
$$30+10+10=50(\text{通り})$$

(参考) 条件のない並べ方の総数は $\frac{7!}{3!2!2!}=210$ 通りです。

両端の色で場合分けする。

(1) 両端が赤: 残り 5 個は赤 1、白 2、青 2 なので、並べ方は $\frac{5!}{1!2!2!}=30$ 通り。

(2) 両端が白: 残り 5 個は赤 3、青 2 なので、並べ方は $\frac{5!}{3!2!}=10$ 通り。

(3) 両端が青: 残り 5 個は赤 3、白 2 なので、並べ方は $\frac{5!}{3!2!}=10$ 通り。

合計は $30+10+10=50$ 通り。

検算: 全体の並べ方は $\frac{7!}{3!2!2!}=210$ 通り。両端が異なる色の並べ方を数える。
両端が (赤,白) または (白,赤): 残りは赤 2、白 1、青 2 で $\frac{5!}{2!1!2!}=30$ 通りなので、2 通りの向きで $60$ 通り。
両端が (赤,青) または (青,赤): 同様に $60$ 通り。
両端が (白,青) または (青,白): 残りは赤 3、白 1、青 1 で $\frac{5!}{3!}=20$ 通りなので、2 通りの向きで $40$ 通り。
両端が異なる色の並べ方は $60+60+40=160$ 通りで、$210-160=50$ 通りとなり一致する。