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場合の数と確率の問題

難易度 3共通テストレベル数学A 場合の数と確率

$0, 1, 2, 3$ の $4$ 種類の数字を、同じ数字を何回使ってもよいものとして並べ、 $5$ 桁の正の整数を作る。ただし、最高位の数字は $0$ ではないとする。このような $5$ 桁の整数のうち、次の $2$ つの条件をともに満たすものは何個あるか。

(i) 隣り合う位の数字は常に異なる。

(ii) 数字 $0$ を少なくとも $1$ 回含む。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「 $0$ を少なくとも $1$ 回含む」は直接数えにくいので、補集合（ $0$ を含まないもの）を考えましょう。

ヒント 2

上の位から順に数字を決めると、各位の選び方は「直前の位と異なる数字」の個数になります。最高位だけは $0$ を除くことに注意しましょう。

ヒント 3

条件 (i) だけを満たすものは $3^{5} = 243$ 個です。次に、 $1, 2, 3$ だけを使い、隣り合う位が異なるものの個数を求めましょう。

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解説を読む

条件 (i) を満たすものの個数

最高位（万の位）は $0$ 以外なので、 $1, 2, 3$ の $3$ 通りです。

千の位は、 $4$ 種類の数字のうち万の位と同じ数字以外なら何でもよいので $3$ 通りです（ $0$ も使えます）。百の位・十の位・一の位も同様に、それぞれ直前の位の数字以外の $3$ 通りです。

よって、条件 (i) を満たすものは
$3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{5} = 243 個$
です。

**条件 (i) を満たし、 $0$ を含まないものの個数**

使える数字は $1, 2, 3$ の $3$ 種類です。万の位は $3$ 通りです。それ以降の各位は、直前の位と異なる $2$ 通りです。よって
$3 \times 2^{4} = 48 個$
です。

求める個数

条件 (i) を満たすもの全体から $0$ を含まないものを除けば、条件 (ii) も満たすものが残ります。したがって
$243 - 48 = 195 個$
です。

別解

最高位が $0$ でなく、隣り合う位の数字が異なる $5$ 桁の整数の総数を求め、そこから $0$ を含まないものを引く。

(i) だけを満たすもの：最高位は $1, 2, 3$ の $3$ 通り。以降の各位は、直前の位と異なる数字なので、 $4 - 1 = 3$ 通りずつ。よって $3 \times 3^{4} = 243$ 個。

$0$ を含まないもの：各位の数字は $1, 2, 3$ から選ぶ。最高位は $3$ 通り。以降の各位は直前と異なる $2$ 通りずつ。よって $3 \times 2^{4} = 48$ 個。

(ii) も満たすもの： $243 - 48 = 195$ 個。

検算： $0$ を含まない場合の数は、 $3$ 文字の並びで隣り合う文字が異なるものの数 $3 \cdot 2^{4} = 48$ であり、 $243$ から引いて $195$ で矛盾はない。