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場合の数と確率の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学A 場合の数と確率

方程式 $x + y + z = 15$ を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ のうち、 $x, y, z$ がすべて奇数であるものは何組あるか。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

奇数という条件をそのままでは扱いにくいので、0 以上の整数を使って $x, y, z$ を表し直してみましょう。

ヒント 2

$x = 2 a + 1, y = 2 b + 1, z = 2 c + 1$ （ $a, b, c$ は 0 以上の整数）とおいて、方程式を $a, b, c$ についての式に書き換えましょう。

ヒント 3

代入して整理すると $a + b + c = 6$ になります。0 以上の整数解の個数は、○と仕切りの並べ方（重複組合せ）で数えられます。

答えと解説

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28

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解説を読む

$x, y, z$ は正の奇数なので、0 以上の整数 $a, b, c$ を用いて
$x = 2 a + 1, y = 2 b + 1, z = 2 c + 1$
と表せます。逆に、0 以上の整数 $a, b, c$ を 1 組選ぶと、正の奇数の組 $(x, y, z)$ がちょうど 1 組決まります。つまり、この 2 種類の組は 1 対 1 に対応しています。

これを方程式に代入すると
$(2 a + 1) + (2 b + 1) + (2 c + 1) = 15$
$2 (a + b + c) + 3 = 15$
$a + b + c = 6$
となります。

したがって、求める組の個数は、 $a + b + c = 6$ を満たす 0 以上の整数の組 $(a, b, c)$ の個数に等しくなります。

これは 3 種類のものから重複を許して 6 個取る重複組合せの数です。6 個の「○」と 2 本の仕切り「｜」の並べ方として数えると
$_{3} H_{6} =_{6 + 2} C_{2} =_{8} C_{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$
です。

よって、求める組は $28$ 組です。

別解

$x = 2 a + 1, y = 2 b + 1, z = 2 c + 1$ ( $a, b, c$ は 0 以上の整数) とおく。すると $x + y + z = 2 (a + b + c) + 3 = 15$ より $a + b + c = 6$ 。

0 以上の整数解の個数は重複組合せで $_{3} H_{6} =_{8} C_{6} =_{8} C_{2} = 28$ 組。

検算： $a = 0$ のとき $b + c = 6$ で 7 組、 $a = 1$ で 6 組、 $a = 2$ で 5 組、 $a = 3$ で 4 組、 $a = 4$ で 3 組、 $a = 5$ で 2 組、 $a = 6$ で 1 組。合計 $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$ 。

よって 28 組。

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