場合の数と確率の問題
1 から 30 までの整数の中から、異なる 4 個の整数を選ぶ。選んだ 4 個のうち、どの 2 個の差も 3 以上であり、さらに最大のものと最小のものの差が 20 以下であるような選び方は何通りあるか。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
選んだ 4 個を小さい順に と並べ、隣り合う差 に注目しましょう。隣り合う差が 3 以上なら、どの 2 個の差も 3 以上になります。
ヒント 2
最大と最小の差 を固定して考えます。隣り合う差がすべて 3 以上で和が になる組の数は、重複組合せで と表せます。 は の範囲で動きます。
ヒント 3
を固定したときの個数は です。あとは から まで足し合わせます。
答えと解説
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解説を読む
選んだ 4 個を小さい順に とする。
条件の言い換え
隣り合う差を とおく。どの 2 個の差も 3 以上であることは、 と同値である。隣り合う 2 個の差が 3 以上なら、離れた 2 個の差はさらに大きいからである。
また とおくと、 であり、条件から である。
選び方は、 と の組と 1 対 1 に対応する。
** を固定したときの の個数**
とおくと、 は 以上の整数で
を満たす。このような組の個数は重複組合せより
である。
** を固定したときの の個数**
かつ より なので、 は 通りある。
合計
求める個数は
である。 とおくと となり、和は と書ける。各項を計算すると次のとおり。
- ：
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- ：
- ：
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- ：
- ：
- ：
- ：
これらを足すと
となる。
検算（余事象）
、 とおくと
となる。差が 20 以下という条件を外すと、組の個数は である。
は と同値である。そこで逆の場合 を数える。 の組は 通り、 の組は 通りなので、その個数は
である。よって となり、上の結果と一致する。
答えは 通りである。
別解
選んだ 4 個を小さい順に とする。どの 2 個の差も 3 以上という条件は、隣り合う差 がすべて 3 以上ということと同値である。
とおき、 とする。最大と最小の差が 20 以下なので である。
() とおくと、 (、) となる。この解の個数は 通りである。
を固定すると、 は の範囲で選べるので、 の選び方は 通りである。
よって求める個数は
である。
各項は の順に
21, 60, 114, 180, 255, 336, 420, 504, 585, 660, 726, 780
となる。
これらを順に足すと、21, 81, 195, 375, 630, 966, 1386, 1890, 2475, 3135, 3861, 4641 となり、合計は 4641 である。
検算として、各項の積の値と累積和をもう一度確認したところ、同じ 4641 になった。