場合の数と確率の問題

同じ数字のカードを区別せず、数字の並びだけを考える。カードを区別した $8!$ 通りの並べ方は同様に確からしい。どの数字の並びも、カードを区別した並べ方のちょうど $2^4=16$ 通りに対応する。したがって、数字の並びも同様に確からしいとみなしてよい。

数字の並びの総数は、同じものを含む順列より
$$\frac{8!}{2!2!2!2!}=\frac{40320}{16}=2520\text{ (通り)}$$

$k=1,2,3,4$ に対し、集合 $A_k$ を「2 枚の $k$ が隣り合う並び」の集合とする。求める並びの個数は、全体から $A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ の要素の個数を引いたものである。

和集合の要素の個数は、包除原理により
$$\sum n(A_i)-\sum n(A_i\cap A_j)+\sum n(A_i\cap A_j\cap A_k)-n(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)$$
で求められる。

**(1) $n(A_1)$ の計算**
2 枚の $1$ を 1 つのかたまりとみなす。並べるものは、かたまり 1 個と $2,2,3,3,4,4$ の計 7 個である。よって
$$n(A_1)=\frac{7!}{2!2!2!}=\frac{5040}{8}=630$$
対称性から $n(A_2)=n(A_3)=n(A_4)=630$ なので、$\sum n(A_i)=4\times 630=2520$。

**(2) $n(A_1\cap A_2)$ の計算**
かたまり 2 個と $3,3,4,4$ の計 6 個を並べる。よって
$$\frac{6!}{2!2!}=\frac{720}{4}=180$$
2 つの数字の選び方は ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通りなので、合計は $6\times 180=1080$。

(3) 3 つの共通部分の計算
かたまり 3 個と残りの数字 2 枚の計 5 個を並べる。よって
$$\frac{5!}{2!}=60$$
3 つの数字の選び方は ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通りなので、合計は $4\times 60=240$。

(4) 4 つの共通部分の計算
かたまり 4 個を並べるので $4!=24$。

以上より
$$n(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=2520-1080+240-24=1656$$

したがって、同じ数字が隣り合わない並びは
$$2520-1656=864\text{ (通り)}$$

求める確率は
$$\frac{864}{2520}=\frac{12}{35}$$

カードを区別しない並べ方は全部で $\frac{8!}{2{!}^4}=2520$ 通りで、これらは同様に確からしい。

同じ数字が隣り合う数字の集合に注目して、包除原理で数える。
数字 $1,2,3,4$ のうち、指定した $k$ 個の数字がそれぞれ隣り合う並べ方は、隣り合う 2 枚を 1 つにまとめて考えると $\frac{(8-k)!}{2^{4-k}}$ 通りである。

• $k=0$: $\frac{8!}{2^4}=2520$
• $k=1$: $4\cdot \frac{7!}{2^3}=2520$
• $k=2$: $6\cdot \frac{6!}{2^2}=1080$
• $k=3$: $4\cdot \frac{5!}{2}=240$
• $k=4$: $4!=24$

どこも隣り合わない並べ方は
$2520-2520+1080-240+24=864$ 通り。

よって確率は $\frac{864}{2520}=\frac{12}{35}$。

検算として、$864$ と $2520$ はともに $72$ で割れ、$864=72\cdot 12$、$2520=72\cdot 35$ となるので、約分の結果は正しい。