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微分法と積分法

扱うテーマ: 微分係数と導関数、接線の方程式、関数の増減と極値（3 次関数まで）、最大・最小、方程式の実数解の個数、定積分の計算、面積（放物線と直線、2 つの放物線、3 次関数）

難易度 1（教科書の例題レベル）
曲線 $y = x^{3} - 3 x$ 上の点で、その点における接線の傾きが $9$ となるような点の $x$ 座標をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a, b$ は実数の定数とする。関数（式）が $x = - 1$ で極大値 $8$ をとるとき、 $f (x)$ の極小値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
曲線 $C : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ 上の点 $A (3, 2)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $ℓ$ と $C$ の共有点のうち…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
定積分（式）の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a, b$ を実数の定数とし、関数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ を考える。 $f (x)$ が次の 2 つの条件を満たすとき、 $a, b$ の値の組 $(a, b)$ …
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
曲線 $y = x (x - 2)^{2}$ と直線 $y = x$ で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
曲線 $C : y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 2$ 上の点 $A (2, 0)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $ℓ$ と $C$ の共有点…
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
曲線 $C : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ 上の点 $P (- 1, - 2)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。曲線 $C$ と接線 $ℓ$ …
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式（式）の異なる実数解がちょうど $2$ 個となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a, b$ を実数の定数とする。関数 $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x$ が $x = 2$ で極小値 $- 20$ をとるとき、 $f (x)$ の極大値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = x + 2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とし、関数（式）を考える。 $f (x)$ が極大値と極小値をもち、かつ（極大値） $-$ （極小値） $= 8$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $C : y = x^{3} - 4 x$ がある。点 $A (0, - 2)$ から曲線 $C$ に引いた接線を $ℓ$ とする。曲線 $C$ と接線 $ℓ$ …
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $C : y = x^{3} - 4 x + 1$ を考える。 $C$ 上の点 $P (1, - 2)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $ℓ$ と $C$ …
難易度 3（共通テストレベル）
放物線 $y = 4 - x^{2}$ と $x$ 軸の交点を $A (- 2, 0)$ , $B (2, 0)$ とする。実数 $t$ が $0 < t < 2$ の…
難易度 3（共通テストレベル）
多項式で表される関数 $f (x)$ が、すべての実数 $x$ に対して（式）を満たしている。このとき、 $f (x)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $C : y = x^{3} - 3 x^{2} + x$ 上の点 $P (2, - 2)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。曲線 $C$ と接線 $ℓ$ で…
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を $a > 1$ を満たす実数の定数とし、関数（式）を考える。 $f (x)$ の極大値と極小値の差が $27$ であるとき、 $f (x)$ の極小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
関数 $f (x)$ は、すべての実数 $x$ に対して（式）を満たす。このとき、 $f (x)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
整式で表される関数 $f (x)$ が、すべての実数 $x$ に対して（式）を満たし、さらに（式）を満たすとする。このとき、 $f (3)$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
整式 $f (x)$ は、すべての実数 $x$ に対して（式）を満たしている。このとき、極限値（式）を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $C : y = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ 上の点 $P (3, 0)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。曲線 $C$ と直線 $ℓ$ で…
難易度 3（共通テストレベル）
関数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ の $- 2 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
整式 $f (x)$ は、すべての実数 $x$ に対して（式）を満たし、さらに（式）を満たす。このとき、 $f (x)$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とし、 $f (x) = x^{3} - a x$ とする。 $0 \leq x \leq 2$ における $∣ f (x) ∣$ の最大値を $M (a)$ とする。 $a$ がすべての実数を動く…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ の方程式（式）が $- 2 \leq x \leq 3$ の範囲に異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とし、（式）とする。区間 $0 \leq x \leq 2$ における $f (x)$ の最大値を $M (a)$ 、最小値を $m (a)$ とする。…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ の $3$ 次方程式（式）が $0 < x < 2$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とし、関数（式）を考える。 $x \geq 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f (x) \geq 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
曲線 $C : y = x^{3} - 3 x$ と直線 $ℓ : y = x$ がある。 $ℓ$ 上の点 $P (a, a)$ から曲線 $C$ に異なる $3$ 本の接線…
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x, y$ が $x^{2} + y^{2} = 2$ を満たしながら動くとき、（式）の最大値と最小値を、この順に求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。（式）とおくとき、 $a$ がすべての実数を動くときの $S (a)$ の最小値を求めよ。