微分法と積分法の問題

積分区間は $0\le x\le 3$ です。$x-a$ の符号が区間内で変わるかどうかで、$a\le 0$、$0<a<3$、$a\ge 3$ の 3 つに場合分けします。

**(i) $a\le 0$ のとき**

$0\le x\le 3$ で $x-a\ge 0$ なので
$$S(a)={\int }_0^3(x^2-ax)dx={\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a{x}^2}{2}\right]}_0^3=9-\frac{9}{2}a.$$
これは $a$ について減少する 1 次関数なので、$a\le 0$ では $S(a)\ge S(0)=9$ です。

**(ii) $a\ge 3$ のとき**

$0\le x\le 3$ で $x-a\le 0$ なので
$$S(a)={\int }_0^3(ax-x^2)dx=\frac{9}{2}a-9.$$
これは $a$ について増加する 1 次関数なので、$a\ge 3$ では $S(a)\ge S(3)=\frac{9}{2}$ です。

**(iii) $0<a<3$ のとき**

$0\le x\le a$ では $|x-a|=a-x$、$a\le x\le 3$ では $|x-a|=x-a$ です。

前半の積分は
$${\int }_0^a(ax-x^2)dx={\left[\frac{a{x}^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^a=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{a^3}{6}.$$

後半の積分は
$${\int }_a^3(x^2-ax)dx={\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a{x}^2}{2}\right]}_a^3=\left(9-\frac{9}{2}a\right)-\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}\right)=9-\frac{9}{2}a+\frac{a^3}{6}.$$

よって
$$S(a)=\frac{a^3}{3}-\frac{9}{2}a+9.$$

増減を調べるために微分すると
$$S^{\prime }(a)=a^2-\frac{9}{2}.$$
$S^{\prime }(a)=0$ とおくと、$0<a<3$ の範囲では $a=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ です（$\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2.12$ なので範囲内にあります）。

• $0<a<\frac{3\sqrt{2}}{2}$ では $S^{\prime }(a)<0$ なので $S(a)$ は減少します。
• $\frac{3\sqrt{2}}{2}<a<3$ では $S^{\prime }(a)>0$ なので $S(a)$ は増加します。

したがって、この範囲では $a=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ で最小になります。

最小値を計算します。$a^3=\frac{27\cdot 2\sqrt{2}}{8}=\frac{27\sqrt{2}}{4}$ なので
$$S\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{27\sqrt{2}}{4}-\frac{9}{2}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}+9=\frac{9\sqrt{2}}{4}-\frac{27\sqrt{2}}{4}+9=9-\frac{9\sqrt{2}}{2}.$$

まとめ

$9-\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx 2.64$ です。これは (ii) の下限 $\frac{9}{2}$ よりも、(i) の下限 $9$ よりも小さくなります。

よって、求める最小値は
$$9-\frac{9\sqrt{2}}{2}$$
です（$a=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ のとき）。

$a$ の範囲で場合分けして $S(a)$ を求める。

(i) $a\le 0$ のとき、$0\le x\le 3$ で $|x-a|=x-a$ なので
$S(a)={\int }_0^3(x^2-ax)dx=9-\frac{9}{2}a$。これは $a$ について減少し、$a=0$ で $S=9$。よって最小値は $9$ 以上。

(ii) $a\ge 3$ のとき、$|x-a|=a-x$ なので
$S(a)=\frac{9}{2}a-9$。これは増加し、$a=3$ で $S=\frac{9}{2}$。よって最小値は $\frac{9}{2}$ 以上。

(iii) $0\le a\le 3$ のとき
$S(a)={\int }_0^{a}x(a-x)dx+{\int }_a^{3}x(x-a)dx$
$=\frac{a^3}{6}+{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a{x}^2}{2}\right]}_a^3$
$=\frac{a^3}{6}+\left(9-\frac{9a}{2}\right)-\left(-\frac{a^3}{6}\right)$
$=\frac{a^3}{3}-\frac{9}{2}a+9$。

$S^{\prime }(a)=a^2-\frac{9}{2}=0$ より $a=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$（$0<a<3$ の範囲内）。この前後で $S^{\prime }$ は負から正に変わるので極小かつ区間内の最小。
このとき $a^2=\frac{9}{2}$ なので
$S=a\left(\frac{a^2}{3}-\frac{9}{2}\right)+9=a\left(\frac{3}{2}-\frac{9}{2}\right)+9=9-3a=9-\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx 2.64$。

検算：端点では $S(0)=9$、$S(3)=9-\frac{27}{2}+9=\frac{9}{2}$ で、(i),(ii) と一致し、いずれも $2.64$ より大きい。

よって最小値は $9-\frac{9\sqrt{2}}{2}$。