微分法と積分法の問題

$f^{\prime }(x)=3x^2-a$ である。また $f(0)=0$、$f(2)=8-2a$ である。$a$ の値で場合を分ける。

**(i) $a\le 0$ のとき**

$0\le x\le 2$ で $f^{\prime }(x)\ge 0$ なので、$f(x)$ は単調に増加する。よって $0=f(0)\le f(x)\le f(2)=8-2a$ であり、
$$M(a)=8-2a\ge 8$$

**(ii) $a\ge 12$ のとき**

$0\le x\le 2$ で $f^{\prime }(x)=3x^2-a\le 12-a\le 0$ なので、$f(x)$ は単調に減少する。よって $8-2a\le f(x)\le 0$ であり、
$$M(a)=2a-8\ge 16$$

**(iii) $0<a<12$ のとき**

$x_0=\sqrt{\frac{a}{3}}$ とおくと $0<x_0<2$ である。$f(x)$ は $0\le x\le x_0$ で減少し、$x_0\le x\le 2$ で増加する。最小値は
$$f(x_0)=x_0(x_0^2-a)=x_0\left(\frac{a}{3}-a\right)=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}$$
である。$g(a)=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}=2{\left(\frac{a}{3}\right)}^{\frac{3}{2}}$ とおく。$g(a)>0$ である。

最大値は $f(0)=0$ と $f(2)=8-2a$ の大きい方である。

• $8-2a\ge 0$ のとき: $-g(a)\le f(x)\le 8-2a$ なので $M(a)=\max \{8-2a,g(a)\}$。
• $8-2a<0$ のとき: $-g(a)\le f(x)\le 0$ なので $M(a)=g(a)$。このとき $8-2a<0<g(a)$ でもあるから、やはり $M(a)=\max \{8-2a,g(a)\}$ と書ける。

よって $0<a<12$ では
$$M(a)=\max \{8-2a,g(a)\}$$
である。$8-2a$ は $a$ について減少し、$g(a)$ は $a$ について増加する。

両者が等しくなる $a$ を求める。$a=3t^2(t>0)$ とおくと $\sqrt{\frac{a}{3}}=t$ であり、$g(a)=2t^3$ となる。よって
$$8-6t^2=2t^3$$
$$t^3+3t^2-4=0$$
$$(t-1)(t^2+4t+4)=0$$
$$(t-1)(t+2{)}^2=0$$
$t>0$ より $t=1$、すなわち $a=3$ である。このとき $8-2a=2$、$g(3)=2$ となり、両者は確かに一致する。

• $0<a<3$ では $8-2a>2$ なので $M(a)>2$。
• $3<a<12$ では $g(a)>g(3)=2$ なので $M(a)>2$。
• $a=3$ では $M(3)=2$。

まとめ

(i), (ii) では $M(a)\ge 8$ である。(iii) では $M(a)\ge 2$ で、等号は $a=3$ のときに成り立つ。

したがって、$M(a)$ の最小値は $2$（$a=3$ のとき）である。

$f$ は奇関数なので、$[0,2]$ での $|f|$ の最大値は $[-2,2]$ での最大値に等しい。

$a=3$ のとき $f(x)=x^3-3x$ である。$f^{\prime }(x)=3x^2-3$ より、$f(0)=0$、$f(1)=-2$、$f(2)=2$ となる。よって $[0,2]$ で $|f|$ の最大値は $2$ であり、$M(3)=2$ である。

次に、すべての $a$ について $M(a)\ge 2$ を示す。

$f(0)=0$、$f(1)=1-a$、$f(\sqrt{3})=0$ では不十分なので、$x=1$ と $x=2$ の値を使う。
$f(2)=8-2a$ より $|8-2a|\le M$ である。
$f(1)=1-a$ より $|1-a|\le M$ である。
ここで $f(2)-2f(1)=8-2a-2+2a=6$ となる。
よって $6=f(2)-2f(1)\le |f(2)|+2|f(1)|\le 3M$ より $M\ge 2$ である。

等号は $a=3$ のとき成り立つ。したがって $M(a)$ の最小値は $2$ である。

検算：$a=3$ で $f(1)=-2$、$f(2)=2$ であり、$f(2)-2f(1)=6$ が成り立つ。