微分法と積分法の問題

四角形 $\mathrm{ABPQ}$ を考える。$\mathrm{AB}$ は $x$ 軸上にあり、$\mathrm{PQ}$ は直線 $y=4-t^2$ 上にあるので $\mathrm{AB}\parallel \mathrm{PQ}$ である。よってこの四角形は台形になる。

上底は $\mathrm{PQ}=t-(-t)=2t$、下底は $\mathrm{AB}=2-(-2)=4$ である。$0<t<2$ より $4-t^2>0$ なので、高さは $4-t^2$ である。

したがって面積 $S(t)$ は
$$S(t)=\frac{1}{2}(4+2t)(4-t^2)=(2+t)(4-t^2)=(2+t{)}^2(2-t)$$
となる。展開すると
$$S(t)=(t^2+4t+4)(2-t)=-t^3-2t^2+4t+8$$
である。

これを微分すると
$$S^{\prime }(t)=-3t^2-4t+4=-(3t^2+4t-4)=-(3t-2)(t+2)$$
となる。$0<t<2$ では $t+2>0$ なので、$S^{\prime }(t)$ の符号は $-(3t-2)$ の符号と一致する。

• $0<t<\frac{2}{3}$ のとき $S^{\prime }(t)>0$ であり、$S(t)$ は増加する。
• $\frac{2}{3}<t<2$ のとき $S^{\prime }(t)<0$ であり、$S(t)$ は減少する。

よって $S(t)$ は $t=\frac{2}{3}$ で最大となる。その値は
$$S\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{8}{3}\right)}^2\cdot \frac{4}{3}=\frac{64}{9}\cdot \frac{4}{3}=\frac{256}{27}$$
である。

したがって、面積の最大値は $\frac{256}{27}$ である。

四角形 $\mathrm{ABPQ}$ は $\mathrm{AB}\parallel \mathrm{QP}$ の台形である。上底は $\mathrm{QP}=2t$、下底は $\mathrm{AB}=4$、高さは $4-t^2$ である。

面積は
$S(t)=\frac{1}{2}(4+2t)(4-t^2)=(2+t)(4-t^2)=(2+t{)}^2(2-t)$

微分すると
$S^{\prime }(t)=2(2+t)(2-t)-(2+t{)}^2=(2+t)(4-2t-2-t)=(2+t)(2-3t)$

$0<t<2$ では $2+t>0$ なので、$S^{\prime }(t)$ の符号は $2-3t$ の符号で決まる。$t=\frac{2}{3}$ の前後で正から負に変わるため、$S(t)$ は $t=\frac{2}{3}$ で最大となる。

最大値は
$S\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{8}{3}\right)}^2\cdot \frac{4}{3}=\frac{64}{9}\cdot \frac{4}{3}=\frac{256}{27}$

検算として、$S(1)=9$、$S(0.5)=6.25\times 1.5=9.375$、$S(0.7)=7.29\times 1.3=9.477$ はいずれも $\frac{256}{27}\approx 9.481$ より小さい。したがって最大値は $\frac{256}{27}$ で、$t=\frac{2}{3}$ のときである。