微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-4x$ とおくと $f^{\prime }(x)=3x^2-4$ である。

接線を求める

曲線 $C$ 上の点 $(t,t^3-4t)$ における接線の方程式は
$$y=(3t^2-4)(x-t)+t^3-4t$$
である。右辺を展開すると $(3t^2-4)x-3t^3+4t+t^3-4t$ なので
$$y=(3t^2-4)x-2t^3$$
となる。これが点 $\mathrm{A}(0,-2)$ を通るので、$x=0,y=-2$ を代入して
$$-2=-2t^3\text{すなわち}{t}^3=1$$
を得る。$t$ は実数なので $t=1$ となり、接線はただ 1 本に決まる。$t=1$ のとき $3t^2-4=-1$、$-2t^3=-2$ であるから
$$\ell :y=-x-2$$

交点を求める

$x^3-4x=-x-2$ を整理すると $x^3-3x+2=0$ である。$x=1$ で接しているので $(x-1{)}^2$ を因数にもち、
$$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)=0$$
と因数分解できる。よって交点の $x$ 座標は $x=-2,1$（$x=1$ は接点）である。

面積を求める

$-2\le x\le 1$ では $(x-1{)}^2\ge 0$ かつ $x+2\ge 0$ なので
$$(x^3-4x)-(-x-2)=(x-1{)}^2(x+2)\ge 0$$
である。つまり、この区間では曲線 $C$ が接線 $\ell$ の上側（または同じ位置）にある。したがって
$$S={\int }_{-2}^1(x-1{)}^2(x+2)dx$$
となる。

$u=x-1$ とおくと $x+2=u+3$、$dx=du$ であり、$x$ が $-2$ から $1$ まで動くとき $u$ は $-3$ から $0$ まで動く。よって
$$S={\int }_{-3}^0{u}^2(u+3)du={\int }_{-3}^0(u^3+3u^2)du={\left[\frac{u^4}{4}+u^3\right]}_{-3}^0$$
である。$u=0$ での値は $0$、$u=-3$ での値は $\frac{81}{4}-27=-\frac{27}{4}$ なので
$$S=0-\left(-\frac{27}{4}\right)=\frac{27}{4}$$

（参考: 3 次関数のグラフ $y=a{x}^3+\cdots$ と、$x=\alpha$ で接し $x=\beta$ で交わる直線とで囲まれた部分の面積は $\frac{|a|}{12}(\beta -\alpha {)}^4$ である。この公式でも $\frac{1}{12}\cdot 3^4=\frac{27}{4}$ となり、結果が一致する。）

答え: $S=\frac{27}{4}$

曲線 $C$ 上の点 $(t,t^3-4t)$ における接線は、$y^{\prime }=3x^2-4$ より
$y=(3t^2-4)(x-t)+t^3-4t=(3t^2-4)x-2t^3$。
これが $\mathrm{A}(0,-2)$ を通るので $-2t^3=-2$、よって $t=1$。
実数解は $t=1$ のみなので接線は1本で、$\ell :y=-x-2$。

$C$ と $\ell$ の共有点は $x^3-4x=-x-2$、すなわち $x^3-3x+2=0$ より $(x-1{)}^2(x+2)=0$。よって $x=-2,1$（$x=1$ は接点で重解）。
$-2\le x\le 1$ で $x^3-4x-(-x-2)=(x-1{)}^2(x+2)\ge 0$ なので、$C$ が $\ell$ の上側にある。

$S={\int }_{-2}^1(x^3-3x+2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]}_{-2}^1$
$x=1$ のとき $\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2=\frac{3}{4}$。
$x=-2$ のとき $4-6-4=-6$。
よって $S=\frac{3}{4}-(-6)=\frac{27}{4}$。

検算：${\int }_{-2}^1(x-1{)}^2(x+2)dx$ で $u=x+2$ とおくと $(u-3{)}^{2}u=u^3-6u^2+9u$。
${\int }_0^3(u^3-6u^2+9u)du=\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}=\frac{27}{4}$。これは上の結果と一致する。