微分法と積分法の問題

交点を求める

$$x(x-2{)}^2=x$$

とおく。右辺を移項して $x$ でくくると

$$x\{(x-2{)}^2-1\}=0$$

$$x(x-1)(x-3)=0$$

よって交点の $x$ 座標は $x=0,1,3$ である。

上下関係を調べる

$f(x)=x(x-2{)}^2-x$ とおくと

$$f(x)=x^3-4x^2+3x=x(x-1)(x-3)$$

• $0<x<1$ のとき、$x>0,x-1<0,x-3<0$ なので $f(x)>0$ である。よって曲線が直線より上にある。
• $1<x<3$ のとき、$x>0,x-1>0,x-3<0$ なので $f(x)<0$ である。よって直線が曲線より上にある。

面積を計算する

求める面積を $S$ とすると

$$S={\int }_0^1(x^3-4x^2+3x)dx-{\int }_1^3(x^3-4x^2+3x)dx$$

$F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}$ とおく。

$$F(0)=0$$

$$F(1)=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{3-16+18}{12}=\frac{5}{12}$$

$$F(3)=\frac{81}{4}-36+\frac{27}{2}=\frac{81-144+54}{4}=-\frac{9}{4}$$

したがって

$${\int }_0^1(x^3-4x^2+3x)dx=F(1)-F(0)=\frac{5}{12}$$

$${\int }_1^3(x^3-4x^2+3x)dx=F(3)-F(1)=-\frac{9}{4}-\frac{5}{12}=-\frac{27}{12}-\frac{5}{12}=-\frac{8}{3}$$

よって

$$S=\frac{5}{12}-\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{5}{12}+\frac{32}{12}=\frac{37}{12}$$

曲線と直線の共有点は $x(x-2{)}^2=x$ より $x^3-4x^2+3x=x(x-1)(x-3)=0$ なので、$x=0,1,3$。
$f(x)=x(x-2{)}^2-x=x(x-1)(x-3)$ とおく。$0\le x\le 1$ では $f(x)\ge 0$、$1\le x\le 3$ では $f(x)\le 0$。
$F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}$ は $f(x)$ の原始関数。
$F(0)=0$、$F(1)=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{5}{12}$、$F(3)=\frac{81}{4}-36+\frac{27}{2}=-\frac{9}{4}$。
$0\le x\le 1$ の部分の面積は $F(1)-F(0)=\frac{5}{12}$。
$1\le x\le 3$ の部分の面積は $-(F(3)-F(1))=\frac{9}{4}+\frac{5}{12}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}$。
和は $\frac{5}{12}+\frac{32}{12}=\frac{37}{12}$。
検算：$x=0.5$ で $f=0.5\cdot (-0.5)(-2.5)=0.625>0$、$x=2$ で $f=2\cdot 1\cdot (-1)=-2<0$ なので符号は正しい。