微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-3x^2+2$ とおくと $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ である。

接線の方程式

$f(-1)=-1-3+2=-2$、$f^{\prime }(-1)=3+6=9$ より、接線 $\ell$ の方程式は
$$y=9(x+1)-2=9x+7$$
である。

**共有点の $x$ 座標**

$C$ と $\ell$ の方程式から $y$ を消去すると
$$x^3-3x^2+2=9x+7$$
$$x^3-3x^2-9x-5=0$$
となる。$x=-1$ で接するので左辺は $(x+1{)}^2$ を因数にもつ。実際
$$(x+1{)}^2(x-5)=(x^2+2x+1)(x-5)=x^3-3x^2-9x-5$$
となるから、共有点の $x$ 座標は $x=-1,5$ である。

上下関係

$-1<x<5$ では $(x+1{)}^2>0$、$x-5<0$ なので
$$f(x)-(9x+7)=(x+1{)}^2(x-5)<0$$
であり、この区間では直線 $\ell$ が曲線 $C$ より上にある。

面積

求める面積を $S$ とすると
$$S={\int }_{-1}^5\{(9x+7)-(x^3-3x^2+2)\}dx={\int }_{-1}^5(-x^3+3x^2+9x+5)dx$$
である。
$$S={\left[-\frac{x^4}{4}+x^3+\frac{9}{2}{x}^2+5x\right]}_{-1}^5$$
ここで
$$x=5\text{ のとき: }-\frac{625}{4}+125+\frac{225}{2}+25=-\frac{625}{4}+\frac{1050}{4}=\frac{425}{4}$$
$$x=-1\text{ のとき: }-\frac{1}{4}-1+\frac{9}{2}-5=-\frac{1}{4}-\frac{4}{4}+\frac{18}{4}-\frac{20}{4}=-\frac{7}{4}$$
よって
$$S=\frac{425}{4}-\left(-\frac{7}{4}\right)=\frac{432}{4}=108$$
である。

（検算）公式 ${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(\beta -x)dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^4}{12}$ を用いると、$\frac{6^4}{12}=\frac{1296}{12}=108$ となり一致する。

答え: $108$

$y^{\prime }=3x^2-6x$ より、$x=-1$ での傾きは $3+6=9$。接線 $\ell$ は $y=9(x+1)-2=9x+7$。

$C$ と $\ell$ の交点は $x^3-3x^2+2=9x+7$ より $x^3-3x^2-9x-5=0$。これは $(x+1{)}^2(x-5)=0$ と因数分解できる（展開して確認：$(x^2+2x+1)(x-5)=x^3-3x^2-9x-5$）。よって $x=-1$（重解）、$x=5$。

$-1<x<5$ では $(x+1{)}^2(x-5)<0$ なので、$C$ は $\ell$ より下にある。したがって面積は
$S={\int }_{-1}^5\{(9x+7)-(x^3-3x^2+2)\}dx={\int }_{-1}^5(x+1{)}^2(5-x)dx$。

$t=x+1$ とおくと $t$ は $0$ から $6$ まで動き、被積分関数は $t^2(6-t)$。
$S={\int }_0^6(6t^2-t^3)dt={\left[2t^3-\frac{t^4}{4}\right]}_0^6=432-324=108$。

検算：${\int }_a^b(x-\alpha {)}^2(\beta -x)dx$ の公式、つまり $\frac{(\beta -\alpha {)}^4}{12}$ を用いると $6^4/12=1296/12=108$ となり一致する。