微分法と積分法の問題
難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 微分法と積分法
曲線 上の点 における の接線を とする。 と の共有点のうち、 以外の点の座標を求めよ。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず点 における接線の方程式を求め、それと曲線の方程式を連立させましょう。
ヒント 2
接点の 座標 は、連立して得られる3次方程式の重解になります。したがって、左辺は で割り切れます。
ヒント 3
接線は です。連立すると となり、これは の形に因数分解できます。
答えと解説
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解説を読む
とおく。
まず、点 が 上にあることを確かめる。 だから、 は 上にある。
**接線 の方程式を求める。**
より、 である。よって の方程式は
となる。
** と の共有点を求める。**
を消去すると 、すなわち
となる。 は で に接しているので、左辺は で割り切れる。実際に割ると
である（確認: ）。
したがって （重解）, となる。
** 以外の共有点の座標を求める。**
は点 に対応するので、求める点は の点である。このとき であり、 とも一致する。
よって、求める点の座標は である。
別解
なので、 での傾きは 。よって接線 は 。
と の式を連立すると 、すなわち 。
これは と因数分解できる（展開すると で一致）。
は接点 A の重解なので、A 以外の共有点は で、このとき 。
検算: 上で のとき となり一致する。
よって求める点は 。