微分法と積分法の問題
難易度 3共通テストレベル数学II 微分法と積分法
曲線 を考える。 上の点 における の接線を とする。 と の共有点のうち、 と異なる点を とする。点 における の接線の方程式を の形で求めよ。答えは右辺の式 で答えよ。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず点 における接線 の方程式を求め、 の式と連立して点 の座標を求めましょう。
ヒント 2
は で に接しているので、連立して得られる 3 次方程式の左辺は を因数にもちます。
ヒント 3
です。 より の 座標は です。あとは の 座標と、 における微分係数を求めます。
答えと解説
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解説を読む
とおくと、 である。
**接線 を求める。** 、 より、 の方程式は
すなわち である。
**点 を求める。** と の共有点の 座標は、方程式
すなわち の実数解である。 は で に接しているので、左辺は を因数にもつ。実際に
と因数分解できる。よって解は （重解）、 である。 と異なる点は に対応し、 より である。
**点 における接線を求める。** より、求める接線は
すなわち である。
よって、答えは である。
別解
より、P での傾きは 。よって 。
と の共有点： より 、すなわち 。確認： で一致。よって Q の 座標は 。
なので Q。
Q での傾きは 。接線は 。
検算： で となり Q を通る。 と因数分解でき、 で重解をもつので接している。