微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-3x^2+2$ とおきます。

まず、点 $\mathrm{A}$ が $C$ 上にあることを確かめます。$f(3)=27-27+2=2$ なので、点 $\mathrm{A}(3,2)$ は $C$ 上にあります。

**接線 $\ell$ の方程式**

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ なので、$f^{\prime }(3)=27-18=9$ です。よって $\ell$ は傾き $9$ で点 $(3,2)$ を通る直線であり、
$$y-2=9(x-3)$$
すなわち
$$y=9x-25$$
です。

**共有点の $x$ 座標**

$C$ と $\ell$ の方程式から $y$ を消去すると
$$x^3-3x^2+2=9x-25$$
$$x^3-3x^2-9x+27=0$$
となります。$\ell$ は $x=3$ で $C$ に接するので、左辺は $(x-3{)}^2$ を因数にもちます。$(x-3{)}^2=x^2-6x+9$ で割ると
$$x^3-3x^2-9x+27=(x-3{)}^2(x+3)$$
です（展開して確かめると $(x^2-6x+9)(x+3)=x^3+3x^2-6x^2-18x+9x+27=x^3-3x^2-9x+27$ となり、一致します）。

よって共有点の $x$ 座標は $x=3$（重解）と $x=-3$ です。

求める点の座標

$x=-3$ のとき、$\ell$ の式から $y=9\cdot (-3)-25=-52$ です。$C$ の式でも $(-3{)}^3-3\cdot (-3{)}^2+2=-27-27+2=-52$ となり、一致します。

したがって、点 $\mathrm{A}$ 以外の共有点の座標は $(-3,-52)$ です。

$y=x^3-3x^2+2$ より $y^{\prime }=3x^2-6x$。$x=3$ のとき $y^{\prime }=27-18=9$。また A(3, 2) が C 上にあることは $27-27+2=2$ で確認できる。接線 $\ell$ は $y=9(x-3)+2=9x-25$。
共有点は $x^3-3x^2+2=9x-25$ すなわち $x^3-3x^2-9x+27=0$ を解いて得る。$x=3$ は重解なので $(x-3{)}^2(x+3)$ となるはず。展開すると $(x^2-6x+9)(x+3)=x^3+3x^2-6x^2-18x+9x+27=x^3-3x^2-9x+27$ で一致する。よって $x=3$（重解）, $x=-3$。
$x=-3$ のとき $y=9(-3)-25=-52$。C 上でも $-27-27+2=-52$ で一致する。
よって求める点は $(-3,-52)$。