微分法と積分法の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 微分法と積分法

放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = x + 2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず放物線と直線の交点の $x$ 座標を求めよう。

ヒント 2

交点は $x = - 1, 2$ 。その間でどちらのグラフが上にあるかを確かめる。

ヒント 3

$\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x$ を計算する。

答えと解説

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\frac{9}{2}

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解説を読む

$x^{2} = x + 2$ より $(x + 1) (x - 2) = 0$ なので、交点の $x$ 座標は $x = - 1, 2$ 。
$- 1 \leq x \leq 2$ では $x + 2 \geq x^{2}$ だから、求める面積は
$\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{2} = \frac{10}{3} - (- \frac{7}{6}) = \frac{9}{2}$

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