微分法と積分法の問題
難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 微分法と積分法
を実数の定数とする。関数 が で極小値 をとるとき、 の極大値を求めよ。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
で極小値 をとることを、 と についての 2 つの条件式に直しましょう。
ヒント 2
と から の連立方程式を作ります。求めた後は、本当に で極小になるか増減表で確かめましょう。
ヒント 3
連立方程式を解くと となり、 です。増減表から極大となる を調べましょう。
答えと解説
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解説を読む
である。
が で極小値 をとるので、 かつ が必要である。
より であり、 より である。辺々引くと となる。これを に代入すると より である。
逆に、 のとき、 であり、
となる。増減表は次のようになる。
- のとき なので増加
- のとき
- のとき なので減少
- のとき
- のとき なので増加
よって で極小となり、極小値は である。これは条件を満たす。
また で極大となり、極大値は
である。
したがって、極大値は である。
別解
。 で極値をとるので 、つまり 。また より 。この2式を引いて 、よって 、。
このとき 、。 で 、 で 、 で 。したがって で極大、 で極小となり、題意（ で極小）を満たす。
極大値は 。
検算： で条件に一致する。