微分法と積分法の問題
難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 微分法と積分法
は実数の定数とする。関数
が で極大値 をとるとき、 の極小値を求めよ。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
で極値をとるという条件と、そのときの値が であるという条件から、 についての式を 2 つ作りましょう。
ヒント 2
と を連立します。ただし、得られた で本当に が極大になるかを、増減表で確かめる必要があります。
ヒント 3
連立方程式を解くと となり、 です。増減表をかいて、極小となる を調べましょう。
答えと解説
答えを見る
結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:
解説を読む
である。
が で極値をとるので である。よって
また、 であるから
より である。これを に代入すると となり、 から である。したがって となる。
これらは必要条件なので、実際に で極大値 をとるかを確かめる。 のとき
である。 となるのは である。
増減表は次のようになる。
- のとき なので は増加する。
- のとき なので は減少する。
- のとき なので は増加する。
よって は で極大となり、極大値は である。条件を満たしている。
また、 は で極小となる。極小値は
である。
したがって、極小値は である。
別解
。 で極大値 をとるので かつ 。
より 。
より 。
これに を代入すると なので 、。
このとき 、。
で 、 で 、 で となる。よって で極大、 で極小となり、確かに で極大になっている。
極小値は 。
検算: で条件を満たす。