微分法と積分法の問題

まず条件 $(1)$ の極限を微分係数 $f^{\prime }(1)$ で表す。分子から $f(1)$ を引いて足すと
$$\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=\frac{f(1+2h)-f(1)}{h}-\frac{f(1-h)-f(1)}{h}$$
$$=2\cdot \frac{f(1+2h)-f(1)}{2h}+\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}$$
となる。$h\to 0$ のとき $2h\to 0,-h\to 0$ であるから、微分係数の定義より
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=2f^{\prime }(1)+f^{\prime }(1)=3f^{\prime }(1)$$
よって条件 $(1)$ は $3f^{\prime }(1)=9$、すなわち $f^{\prime }(1)=3$ である。

次に導関数を求めると
$$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$$

条件 $(2)$ について
$$f^{\prime }(-1)=3-2a+b,f^{\prime }(3)=27+6a+b$$
であるから $3-2a+b=27+6a+b$ より $-8a=24$、よって $a=-3$。

条件 $f^{\prime }(1)=3$ について
$$f^{\prime }(1)=3+2a+b=3-6+b=b-3$$
であるから $b-3=3$、よって $b=6$。

以上より $(a,b)=(-3,6)$ である。

（確認）$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+6$ で、$f^{\prime }(1)=3$、$f^{\prime }(-1)=15$、$f^{\prime }(3)=15$ となり、条件を満たす。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。条件(1)：$\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=2\cdot \frac{f(1+2h)-f(1)}{2h}+\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}$ と変形でき、$h\to 0$ で $2f^{\prime }(1)+f^{\prime }(1)=3f^{\prime }(1)$ となる。よって $3f^{\prime }(1)=9$、$f^{\prime }(1)=3$。$f^{\prime }(1)=3+2a+b=3$ より $2a+b=0$。条件(2)：$f^{\prime }(-1)=3-2a+b$、$f^{\prime }(3)=27+6a+b$。等しいとして $3-2a+b=27+6a+b$ より $-8a=24$、$a=-3$。したがって $b=6$。検算：$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+6$。$f^{\prime }(1)=3$ なので $3f^{\prime }(1)=9$ で成立。$f^{\prime }(-1)=3+6+6=15$、$f^{\prime }(3)=27-18+6=15$ で成立。よって $(a,b)=(-3,6)$。