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微分法と積分法の問題

難易度 3共通テストレベル数学II 微分法と積分法

$a$ を $a > 1$ を満たす実数の定数とし、関数
$f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x$
を考える。 $f (x)$ の極大値と極小値の差が $27$ であるとき、 $f (x)$ の極小値を求めよ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$f^{'} (x)$ を因数分解して、極大・極小をとる $x$ の値を $a$ で表しましょう。 $a > 1$ であることから、どちらが極大になるかが決まります。

ヒント 2

$f^{'} (x) = 6 (x - 1) (x - a)$ です。極大値 $f (1)$ と極小値 $f (a)$ をそれぞれ $a$ の式で表し、その差を因数分解してみましょう。

ヒント 3

極大値は $3 a - 1$ 、極小値は $- a^{3} + 3 a^{2}$ です。差は $(a - 1)^{3}$ と表せるので、 $(a - 1)^{3} = 27$ から $a$ を求め、極小値の式に代入します。

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解説を読む

導関数を求める

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 (a + 1) x + 6 a = 6 {x^{2} - (a + 1) x + a} = 6 (x - 1) (x - a)$

$a > 1$ より、 $f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = 1, a$ で、 $1 < a$ である。

増減を調べる

よって、 $f (x)$ は $x = 1$ で極大、 $x = a$ で極小となる。

極値を計算する

極大値は
$f (1) = 2 - 3 (a + 1) + 6 a = 3 a - 1$

極小値は
$f (a) = 2 a^{3} - 3 (a + 1) a^{2} + 6 a^{2} = 2 a^{3} - 3 a^{3} - 3 a^{2} + 6 a^{2} = - a^{3} + 3 a^{2}$

差の条件を使う

$f (1) - f (a) = (3 a - 1) - (- a^{3} + 3 a^{2}) = a^{3} - 3 a^{2} + 3 a - 1 = (a - 1)^{3}$

これが $27$ に等しいので $(a - 1)^{3} = 27$ である。 $a - 1$ は実数だから $a - 1 = 3$ 、すなわち $a = 4$ となり、 $a > 1$ を満たす。

極小値を求める

$f (4) = - 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} = - 64 + 48 = - 16$

（確認：このとき極大値は $f (1) = 3 \cdot 4 - 1 = 11$ で、 $11 - (- 16) = 27$ となり条件を満たす。）

したがって、極小値は $- 16$ である。

別解

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 (a + 1) x + 6 a = 6 (x - 1) (x - a)$ である。 $a > 1$ より、 $x = 1$ で極大、 $x = a$ で極小となる。

極大値は $f (1) = 2 - 3 (a + 1) + 6 a = 3 a - 1$ 。
極小値は $f (a) = 2 a^{3} - 3 (a + 1) a^{2} + 6 a^{2} = - a^{3} + 3 a^{2}$ 。

差は $f (1) - f (a) = 3 a - 1 + a^{3} - 3 a^{2} = (a - 1)^{3}$ となる。これが $27$ なので $(a - 1)^{3} = 27$ 、よって $a = 4$ （ $a > 1$ を満たす）。

したがって極小値は $f (4) = - 64 + 48 = - 16$ 。

検算： $a = 4$ のとき $f (1) = 11$ 、 $f (4) = - 16$ で、差は $11 - (- 16) = 27$ となり条件を満たす。