微分法と積分法の問題

導関数の計算

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6(a+1)x+12a=3\{x^2-2(a+1)x+4a\}=3(x-2)(x-2a)$$

よって $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=2,2a$ である。

必要な関数値

$$f(0)=0$$
$$f(2)=8-12(a+1)+24a=12a-4$$
$$f(2a)=8a^3-12(a+1)a^2+24a^2=-4a^3+12a^2=4a^2(3-a)$$

$x\ge 0$ における $f(x)$ の最小値が $0$ 以上であればよい。$a$ の値で場合分けする。

**(i) $a=1$ のとき**

$f^{\prime }(x)=3(x-2{)}^2\ge 0$ より $f(x)$ は単調に増加する。$x\ge 0$ では $f(x)\ge f(0)=0$ となり、条件を満たす。

**(ii) $a>1$ のとき**

$2<2a$ である。$f(x)$ は $x\le 2$ で増加、$2\le x\le 2a$ で減少、$x\ge 2a$ で増加する。

したがって $x\ge 0$ での最小値の候補は $f(0)=0$ と極小値 $f(2a)$ である。条件は
$$f(2a)=4a^2(3-a)\ge 0$$
であり、$a>1$ より $a^2>0$ だから $a\le 3$ となる。よって $1<a\le 3$。

**(iii) $0\le a<1$ のとき**

$0\le 2a<2$ である。$f(x)$ は $x\le 2a$ で増加、$2a\le x\le 2$ で減少、$x\ge 2$ で増加する。

したがって $x\ge 0$ での最小値の候補は $f(0)=0$ と極小値 $f(2)$ である。条件は
$$f(2)=12a-4\ge 0$$
より $a\ge \frac{1}{3}$。よって $\frac{1}{3}\le a<1$。

**(iv) $a<0$ のとき**

$2a<0<2$ なので、$f(x)$ は $0\le x\le 2$ で減少する。このとき
$$f(2)=12a-4<0$$
となり、条件を満たさない。

まとめ

(i)〜(iv) を合わせて、求める範囲は
$$\frac{1}{3}\le a\le 3$$

（確認：$a=\frac{1}{3}$ のとき $f(x)=x(x-2{)}^2$、$a=3$ のとき $f(x)=x(x-6{)}^2$ となり、どちらも $x\ge 0$ で $f(x)\ge 0$ を満たす。）

$f(x)=x\{x^2-3(a+1)x+12a\}$ と因数分解できる。$x=0$ のとき $f(0)=0$ なので条件は成り立つ。したがって、$x>0$ で $f(x)\ge 0$ となる条件は、$x>0$ で $g(x)=x^2-3(a+1)x+12a\ge 0$ となることである。

判別式は $D=9(a+1{)}^2-48a=9a^2-30a+9=3(3a-1)(a-3)$。

(i) $D\le 0$、すなわち $\frac{1}{3}\le a\le 3$ のとき、すべての $x$ で $g(x)\ge 0$ となり適する。

(ii) $D>0$、すなわち $a<\frac{1}{3}$ または $a>3$ のとき、$g(x)$ は 2 つの実数解の間で負になる。$x>0$ で $g\ge 0$ となるには、大きい方の解が $0$ 以下でなければならない。これは $g(0)=12a\ge 0$ かつ軸 $\frac{3(a+1)}{2}\le 0$、つまり $a\ge 0$ かつ $a\le -1$ を要し、これは不可能である。実際、$a<\frac{1}{3}$ では $a=0$ のとき $g=x(x-3)$ が $0<x<3$ で負になる。また $a>3$ では 2 解がともに正で、その間で $g<0$ となる。よって適さない。

検算: $a=\frac{1}{3}$ のとき $g=(x-2{)}^2\ge 0$、$a=3$ のとき $g=(x-6{)}^2\ge 0$ で成立する。

よって求める範囲は $\frac{1}{3}\le a\le 3$。