微分法と積分法の問題

$f(x)=2x^3-3x^2-12x$ とおきます。方程式 $f(x)=k$ の $-2\le x\le 3$ における実数解の個数は、曲線 $y=f(x)(-2\le x\le 3)$ と直線 $y=k$ の共有点の個数に等しくなります。

増減を調べる

$$f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$$

より、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=-1,2$ です。端点と極値の値は次のとおりです。

• $f(-2)=2(-8)-3\cdot 4-12(-2)=-16-12+24=-4$
• $f(-1)=-2-3+12=7$（極大値）
• $f(2)=16-12-24=-20$（極小値）
• $f(3)=54-27-36=-9$

したがって $-2\le x\le 3$ において、$f(x)$ は次のように変化します。

• $-2\le x\le -1$ で $-4$ から $7$ まで増加する
• $-1\le x\le 2$ で $7$ から $-20$ まで減少する
• $2\le x\le 3$ で $-20$ から $-9$ まで増加する

区間ごとの共有点の個数

境界の点 $x=-1,2$ を重複して数えないように、区間を $[-2,-1)$, $[-1,2]$, $(2,3]$ に分けます。各区間で $f$ は単調なので、共有点は $0$ 個か $1$ 個です。

• $[-2,-1)$ では $f(x)$ は $-4\le f(x)<7$ の値をとります。よって $-4\le k<7$ のとき共有点は $1$ 個です。
• $[-1,2]$ では $f(x)$ は $-20\le f(x)\le 7$ の値をとります。よって $-20\le k\le 7$ のとき共有点は $1$ 個です。
• $(2,3]$ では $f(x)$ は $-20<f(x)\le -9$ の値をとります。よって $-20<k\le -9$ のとき共有点は $1$ 個です。

合計の個数

• $k>7$ のとき：$0$ 個
• $k=7$ のとき：$1$ 個（$x=-1$ のみ）
• $-4\le k<7$ のとき：$1+1+0=2$ 個
• $-9<k<-4$ のとき：$0+1+0=1$ 個
• $k=-9$ のとき：$0+1+1=2$ 個（$x=3$ も解になる）
• $-20<k<-9$ のとき：$0+1+1=2$ 個
• $k=-20$ のとき：$1$ 個（$x=2$ のみ）
• $k<-20$ のとき：$0$ 個

以上より、異なる実数解がちょうど $2$ 個となる $k$ の値の範囲は

$$-20<k\le -9,-4\le k<7$$

です。

$f(x)=2x^3-3x^2-12x$ とおくと $f^{\prime }(x)=6(x-2)(x+1)$ で、$x=-1$ で極大、$x=2$ で極小となる。
$f(-2)=-4,f(-1)=7,f(2)=-20,f(3)=-9$。
区間 $-2\le x\le 3$ での増減は次のとおり。
- $[-2,-1]$:増加（$-4\to 7$）
- $[-1,2]$:減少（$7\to -20$）
- $[2,3]$:増加（$-20\to -9$）

方程式の解は $y=f(x)$ と $y=k$ の共有点の個数で数える。
- $k>7$:0個
- $k=7$:1個
- $-4\le k<7$:$[-2,-1]$ に1個、$[-1,2]$ に1個で計2個。$k=-4$ のときは $x=-2$ と $[-1,2]$ の1解で2個。
- $-9<k<-4$:$[-1,2]$ に1個のみで1個
- $-20<k\le -9$:$[-1,2]$ に1個、$[2,3]$ に1個で計2個。$k=-9$ のときは $x=3$ と $[-1,2]$ の1解で2個。
- $k=-20$:$x=2$ のみで1個
- $k<-20$:0個

検算:$k=-9$ では $2x^3-3x^2-12x+9=(x-3)(2x^2+3x-3)=0$。$2x^2+3x-3=0$ の解 $x=\frac{-3\pm \sqrt{33}}{4}$ のうち範囲内にあるのは $\frac{-3+\sqrt{33}}{4}\approx 0.69$ のみ。$x=3$ とあわせて2個で一致する。

よって $-20<k\le -9$ または $-4\le k<7$。