微分法と積分法の問題

方程式を $x^3-6x^2+9x=a$ と変形する。$f(x)=x^3-6x^2+9x$ とおく。このとき、方程式の異なる実数解の個数は、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=a$ の共有点の個数に等しい。

$f(x)$ を微分すると
$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$$
となる。よって $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=1,3$ である。

$f^{\prime }(x)$ の符号を調べると、$x<1$ で $f^{\prime }(x)>0$、$1<x<3$ で $f^{\prime }(x)<0$、$x>3$ で $f^{\prime }(x)>0$ である。したがって $f(x)$ は $x\le 1$ で増加し、$1\le x\le 3$ で減少し、$x\ge 3$ で増加する。

極値を求める。
$$f(1)=1-6+9=4(\text{極大値})$$
$$f(3)=27-54+27=0(\text{極小値})$$

また、$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty$、$x\to \infty$ のとき $f(x)\to \infty$ である。

グラフと直線 $y=a$ の共有点の個数は次のようになる。
- $a<0$ または $a>4$ のとき $1$ 個
- $a=0$ または $a=4$ のとき $2$ 個
- $0<a<4$ のとき $3$ 個

よって、異なる実数解がちょうど $2$ 個となるのは $a=0,4$ のときである。

(確認)$a=4$ のとき、$x^3-6x^2+9x-4=(x-1{)}^2(x-4)$ となり、異なる実数解は $x=1,4$ の $2$ 個である。$a=0$ のとき、$x^3-6x^2+9x=x(x-3{)}^2$ となり、異なる実数解は $x=0,3$ の $2$ 個である。

答え: $a=0,4$

$f(x)=x^3-6x^2+9x$ とおくと、方程式は $f(x)=a$ となる。つまり、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=a$ の共有点の個数を調べる。

$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ より、$x=1$ で極大、$x=3$ で極小となる。
極大値は $f(1)=1-6+9=4$、極小値は $f(3)=27-54+27=0$。

$y=a$ との共有点の個数は次のとおり。
- $a>4$ または $a<0$ のとき 1 個
- $a=4$ または $a=0$ のとき 2 個
- $0<a<4$ のとき 3 個

よって異なる実数解がちょうど 2 個となるのは $a=0,4$ のとき。

検算：
- $a=0$ のとき $x(x-3{)}^2=0$ より $x=0,3$ の 2 個。
- $a=4$ のとき $x^3-6x^2+9x-4=(x-1{)}^2(x-4)=0$ より $x=1,4$ の 2 個。

どちらも条件を満たす。