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微分法と積分法の問題

難易度 3共通テストレベル数学II 微分法と積分法

$a$ を実数の定数とし、関数
$f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x$
を考える。 $f (x)$ が極大値と極小値をもち、かつ（極大値） $-$ （極小値） $= 8$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$f^{'} (x)$ を因数分解して、極値をとる $x$ を $a$ で表しましょう。極値をもつための $a$ の条件も確認します。

ヒント 2

$f^{'} (x) = 6 (x - 1) (x - a)$ です。 $x = 1$ と $x = a$ のどちらで極大になるかは、 $a$ と $1$ の大小で変わります。 $f (1) - f (a)$ を計算して因数分解してみましょう。

ヒント 3

$f (1) = 3 a - 1$ 、 $f (a) = - a^{3} + 3 a^{2}$ なので、 $f (1) - f (a) = (a - 1)^{3}$ です。あとは $a > 1$ と $a < 1$ に分けて、（極大値） $-$ （極小値） $= 8$ を解きます。

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{- 1, 3}

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解説を読む

1. 導関数を求める

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 (a + 1) x + 6 a = 6 {x^{2} - (a + 1) x + a} = 6 (x - 1) (x - a)$

$f (x)$ が極大値と極小値をもつのは、 $f^{'} (x) = 0$ が異なる 2 つの実数解をもち、その前後で $f^{'} (x)$ の符号が変わるときである。よって条件は $a \neq = 1$ である。

**2. $x = 1$ , $x = a$ における値を求める**

$f (1) = 2 - 3 (a + 1) + 6 a = 3 a - 1$
$f (a) = 2 a^{3} - 3 (a + 1) a^{2} + 6 a^{2} = 2 a^{3} - 3 a^{3} - 3 a^{2} + 6 a^{2} = - a^{3} + 3 a^{2}$

したがって
$f (1) - f (a) = 3 a - 1 + a^{3} - 3 a^{2} = a^{3} - 3 a^{2} + 3 a - 1 = (a - 1)^{3}$

3. 場合分け

(i) $a > 1$ のとき

$f^{'} (x)$ は $x < 1$ で正、 $1 < x < a$ で負、 $x > a$ で正である。よって $f (x)$ は $x = 1$ で極大、 $x = a$ で極小となる。

$(極大値) - (極小値) = f (1) - f (a) = (a - 1)^{3}$

$(a - 1)^{3} = 8$ より $a - 1 = 2$ 、すなわち $a = 3$ である。これは $a > 1$ を満たす。

(ii) $a < 1$ のとき

$f^{'} (x)$ は $x < a$ で正、 $a < x < 1$ で負、 $x > 1$ で正である。よって $f (x)$ は $x = a$ で極大、 $x = 1$ で極小となる。

$(極大値) - (極小値) = f (a) - f (1) = - (a - 1)^{3} = (1 - a)^{3}$

$(1 - a)^{3} = 8$ より $1 - a = 2$ 、すなわち $a = - 1$ である。これは $a < 1$ を満たす。

4. 確認

$a = 3$ のとき $f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x$ で、極大値 $f (1) = 8$ 、極小値 $f (3) = 0$ 。差は $8$ である。
$a = - 1$ のとき $f (x) = 2 x^{3} - 6 x$ で、極大値 $f (- 1) = 4$ 、極小値 $f (1) = - 4$ 。差は $8$ である。

以上より、求める $a$ の値は $a = - 1, 3$ である。

別解

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 (a + 1) x + 6 a = 6 (x - 1) (x - a)$ 。極大値と極小値をもつ条件は $f^{'} (x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことなので、 $a \neq = 1$ 。

$f (1) = 2 - 3 (a + 1) + 6 a = 3 a - 1$ 、 $f (a) = 2 a^{3} - 3 (a + 1) a^{2} + 6 a^{2} = - a^{3} + 3 a^{2}$ 。

よって $f (1) - f (a) = a^{3} - 3 a^{2} + 3 a - 1 = (a - 1)^{3}$ 。

(i) $a > 1$ のとき、 $x = 1$ で極大、 $x = a$ で極小。(極大値)−(極小値) $= f (1) - f (a) = (a - 1)^{3} = 8$ より $a - 1 = 2$ 、 $a = 3$ 。これは $a > 1$ を満たす。

(ii) $a < 1$ のとき、 $x = a$ で極大、 $x = 1$ で極小。(極大値)−(極小値) $= f (a) - f (1) = - (a - 1)^{3} = 8$ より $a - 1 = - 2$ 、 $a = - 1$ 。これは $a < 1$ を満たす。

検算： $a = 3$ のとき $f (1) = 8$ 、 $f (3) = 54 - 108 + 54 = 0$ で差は8。 $a = - 1$ のとき $f (x) = 2 x^{3} - 6 x$ 、 $f (- 1) = 4$ 、 $f (1) = - 4$ で差は8。

答え： $a = - 1, 3$