微分法と積分法の問題

$f^{\prime }(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)$ である。

候補となる値を計算しておく。
$$f(0)=0,f(2)=16-12(a+1)+12a=4,$$
$$f(1)=2-3(a+1)+6a=3a-1,f(a)=2a^3-3a^3-3a^2+6a^2=a^2(3-a).$$

**(1) $a\le 0$ のとき**
$0<x<1$ で $f^{\prime }(x)<0$、$1<x<2$ で $f^{\prime }(x)>0$ なので、$f$ は $x=1$ で最小となる。
$M(a)=\max \{f(0),f(2)\}=4$、$m(a)=f(1)=3a-1$。

**(2) $0<a<1$ のとき**
$f$ は $0\le x\le a$ で増加、$a\le x\le 1$ で減少、$1\le x\le 2$ で増加する。
極大値 $f(a)=a^2(3-a)<1\cdot 3=3<4$ なので $M(a)=4$。
最小値は $m(a)=\min \{f(0),f(1)\}=\min \{0,3a-1\}$ であり、$0<a<\frac{1}{3}$ のとき $3a-1$、$\frac{1}{3}\le a<1$ のとき $0$。

**(3) $a=1$ のとき**
$f^{\prime }(x)=6(x-1{)}^2\ge 0$ より $f$ は増加し、$M(1)=4$、$m(1)=0$。

**(4) $1<a<2$ のとき**
$f$ は $0\le x\le 1$ で増加、$1\le x\le a$ で減少、$a\le x\le 2$ で増加する。
$M(a)=\max \{f(1),f(2)\}=\max \{3a-1,4\}$。$3a-1\ge 4⟺a\ge \frac{5}{3}$ だから、$1<a\le \frac{5}{3}$ で $M(a)=4$、$\frac{5}{3}\le a<2$ で $M(a)=3a-1$。
$m(a)=\min \{f(0),f(a)\}=\min \{0,a^2(3-a)\}=0$（$a^2(3-a)>0$ より）。

**(5) $a\ge 2$ のとき**
$0\le x\le 1$ で $f^{\prime }(x)\ge 0$、$1\le x\le 2$ で $f^{\prime }(x)\le 0$ なので、$M(a)=f(1)=3a-1$、$m(a)=\min \{f(0),f(2)\}=0$。

まとめ
$$M(a)=\{\begin{array}{ll}4& \left(a\le \frac{5}{3}\right)\\ 3a-1& \left(a\ge \frac{5}{3}\right)\end{array},m(a)=\{\begin{array}{ll}3a-1& \left(a\le \frac{1}{3}\right)\\ 0& \left(a\ge \frac{1}{3}\right)\end{array}$$
したがって
$$M(a)-m(a)=\{\begin{array}{ll}5-3a& \left(a\le \frac{1}{3}\right)\\ 4& \left(\frac{1}{3}\le a\le \frac{5}{3}\right)\\ 3a-1& \left(a\ge \frac{5}{3}\right)\end{array}$$
$a<\frac{1}{3}$ では $5-3a>4$、$a>\frac{5}{3}$ では $3a-1>4$ である。よって $M(a)-m(a)$ の最小値は $4$ であり、それをとる $a$ の範囲は
$$\frac{1}{3}\le a\le \frac{5}{3}$$
である。

$f^{\prime }(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)$。また $f(0)=0,f(1)=3a-1,f(2)=4,f(a)=-a^3+3a^2$。

場合分けして $D=M(a)-m(a)$ を求める。

(i) $a\le 0$: 区間内の極値は $x=1$ のみで、$[0,1]$ で減少、$[1,2]$ で増加。最大値は $\max (0,4)=4$、最小値は $3a-1$。よって $D=5-3a\ge 5$。

(ii) $0<a<1$: $[0,a]$ で増加、$[a,1]$ で減少、$[1,2]$ で増加。$f(a)=a^2(3-a)<2<4$ なので最大値は $4$。最小値は $\min (0,3a-1)$。$a<1/3$ のとき $D=5-3a>4$、$1/3\le a<1$ のとき $D=4$。

(iii) $a=1$: $f^{\prime }=6(x-1{)}^2\ge 0$ で単調増加。$D=4-0=4$。

(iv) $1<a\le 2$: $[0,1]$ で増加、$[1,a]$ で減少、$[a,2]$ で増加。最大値は $\max (3a-1,4)$、最小値は $\min (0,f(a))=0$（$f(a)=a^2(3-a)>0$）。$3a-1\le 4$ すなわち $a\le 5/3$ のとき $D=4$。$5/3<a\le 2$ のとき $D=3a-1>4$。

(v) $a>2$: $[0,1]$ で増加、$[1,2]$ で減少。最大値は $3a-1$、最小値は $\min (0,4)=0$。$D=3a-1>5$。

以上より $D$ の最小値は $4$ で、そのときの $a$ の範囲は $\frac{1}{3}\le a\le \frac{5}{3}$。

検算: $a=1/3$ では $f(1)=0$ となり最小値 $0$、最大値 $4$ で $D=4$。$a=5/3$ では $f(1)=4$ となり最大値 $4$、最小値 $0$ で $D=4$。