微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-3ax+2a$ とおく。方程式 $f(x)=0$ の実数解は、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標である。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3a$$

**(i) $a\le 0$ のとき**

すべての実数 $x$ で $f^{\prime }(x)\ge 0$ である。等号は $a=0$ かつ $x=0$ のときだけ成り立つので、$f(x)$ は単調に増加する。よって $f(x)=0$ の実数解は $1$ 個以下であり、条件を満たさない。

**(ii) $a>0$ のとき**

$f^{\prime }(x)=3(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})$ なので、$x>0$ の範囲では次のようになる。
- $0<x<\sqrt{a}$ で $f(x)$ は減少する。
- $x>\sqrt{a}$ で $f(x)$ は増加する。

$x=\sqrt{a}$ で極小となり、極小値は
$$f(\sqrt{a})=a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}+2a=2a(1-\sqrt{a})$$
である。

- $\sqrt{a}\ge 2$、すなわち $a\ge 4$ のとき、$f(x)$ は $0<x<2$ で単調に減少する。よって解は $1$ 個以下であり、不適である。
- $0<a<4$ のとき、$0<\sqrt{a}<2$ である。$f(x)$ は $0<x<\sqrt{a}$ で減少し、$\sqrt{a}<x<2$ で増加する。したがって $0<x<2$ に異なる $2$ つの解をもつための条件は、次の $3$ つがすべて成り立つことである。
$$f(0)>0,f(\sqrt{a})<0,f(2)>0$$

それぞれ調べる。
- $f(0)=2a>0$ は $a>0$ より成り立つ。
- $f(\sqrt{a})=2a(1-\sqrt{a})<0$ について、$a>0$ より $1-\sqrt{a}<0$ である。よって $\sqrt{a}>1$、すなわち $a>1$ となる。
- $f(2)=8-6a+2a=8-4a>0$ より $a<2$ となる。

これらと $0<a<4$ を合わせて $1<a<2$ を得る。

端点の確認
- $a=1$ のとき、$f(1)=0$ が極小値となり、$x=1$ は重解である。このとき異なる解は $1$ 個なので不適である。
- $a=2$ のとき、$f(2)=0$ となり、解 $x=2$ は範囲 $0<x<2$ に含まれない。範囲内の解は $1$ 個なので不適である。

以上より、求める範囲は $1<a<2$ である。

$f(x)=x^3-3ax+2a$ とおく。$f^{\prime }(x)=3x^2-3a$。

$a\le 0$ のとき $f$ は単調増加（$a=0$ では $f^{\prime }\ge 0$）なので、異なる 2 実解はもたない。したがって $a>0$ とする。このとき $x>0$ では $x=\sqrt{a}$ で極小となる。

$f$ は $x>0$ で「減少してから増加」する形なので、$0<x<2$ に異なる 2 解をもつ条件は次の 3 つである。
(i) $0<\sqrt{a}<2$
(ii) $f(\sqrt{a})<0$
(iii) $f(0)>0$ かつ $f(2)>0$

(ii) について、$f(\sqrt{a})=a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}+2a=2a(1-\sqrt{a})<0$。$a>0$ より $\sqrt{a}>1$、すなわち $a>1$。

(iii) について、$f(0)=2a>0$ は $a>0$ で成り立つ。$f(2)=8-6a+2a=8-4a>0$ より $a<2$。

(i) は $0<a<4$ であり、$1<a<2$ のとき成り立つ。

$f(\sqrt{a})=0$（$a=1$）のときは $x=1$ が重解で、もう 1 つの解は $-2$ なので不適。

検算：$a=2$ のとき $x^3-6x+4=(x-2)(x^2+2x-2)$ で、$0<x<2$ にある解は $x=-1+\sqrt{3}$ のみ。よって $a=2$ は不適。

別解：$x^3=a(3x-2)$ で、$x=2/3$ は解でないので $a=\frac{x^3}{3x-2}$ とする。$x>2/3$ では導関数が $\frac{6x^2(x-1)}{(3x-2{)}^2}$ なので、$x=1$ で極小値 $1$ をとる。$x\to 2/3+$ で $+\infty$、$x=2$ で $2$ となる。$0<x<2/3$ では値が負である。したがって直線 $y=a$ との共有点が $2$ つとなるのは $1<a<2$ のとき。

よって $1<a<2$。