微分法と積分法の問題

$y=x^3-3x$ より $y^{\prime }=3x^2-3$ である。

曲線 $C$ 上の点 $(t,t^3-3t)$ における接線の方程式は
$$y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t$$
である。展開すると
$$y=(3t^2-3)x-3t^3+3t+t^3-3t=(3t^2-3)x-2t^3$$
となる。

この接線が点 $\mathrm{P}(a,a)$ を通る条件は
$$a=(3t^2-3)a-2t^3$$
である。整理すると
$$2t^3-3a{t}^2+4a=0(1)$$
となる。

接点と接線の対応について

3次関数のグラフでは、1本の直線が異なる2点で接することはない。もし2点で接するなら、直線と曲線の方程式を連立した3次方程式が重解を2組もつことになり、重複も含めて解が4個以上になって矛盾するからである。

したがって、接点が異なれば接線も異なる。よって、$\mathrm{P}$ から異なる3本の接線が引ける条件は、$t$ の3次方程式 $(1)$ が異なる3つの実数解をもつことである。

**$(1)$ が異なる3つの実数解をもつ条件**

$h(t)=2t^3-3a{t}^2+4a$ とおく。微分すると
$$h^{\prime }(t)=6t^2-6at=6t(t-a)$$
である。

- $a=0$ のとき、$h(t)=2t^3$ となる。$h(t)=0$ の実数解は $t=0$ のみなので、条件を満たさない。
- $a\ne 0$ のとき、$h(t)$ は $t=0$ と $t=a$ で極値をとる。極値は
$$h(0)=4a,h(a)=2a^3-3a^3+4a=-a^3+4a=a(4-a^2)$$
である。

$h(t)=0$ が異なる3つの実数解をもつための条件は、極大値と極小値が異符号であること、すなわち $h(0)h(a)<0$ である。
$$h(0)h(a)=4a\cdot a(4-a^2)=4a^2(4-a^2)<0$$
$a\ne 0$ より $a^2>0$ なので、この不等式は $4-a^2<0$、すなわち $a^2>4$ と同値である。

よって $a<-2$ または $2<a$ となる。これは $a\ne 0$ を満たしている。

答え $a<-2,2<a$

曲線 $C$ 上の点 $(t,t^3-3t)$ における接線は、$y^{\prime }=3t^2-3$ より $y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t=(3t^2-3)x-2t^3$ である。

この接線が $\mathrm{P}(a,a)$ を通る条件は $a=(3t^2-3)a-2t^3$ であり、整理すると $f(t)=2t^3-3a{t}^2+4a=0$ となる。

点 P から異なる3本の接線が引けるためには、$t$ についてのこの3次方程式が異なる3つの実数解をもてばよい（接点が異なれば接線も異なるので）。

$f^{\prime }(t)=6t^2-6at=6t(t-a)$ より、極値をとる点は $t=0,a$ である。$a=0$ のとき $f(t)=2t^3$ で重解となり不適なので、$a\ne 0$ とする。

$f(0)=4a$、$f(a)=2a^3-3a^3+4a=a(4-a^2)$ である。

3次関数が異なる3実数解をもつ条件は、極大値と極小値が異符号になること、すなわち $f(0)f(a)<0$ である。

$4a\cdot a(4-a^2)<0$ より $a^2(4-a^2)<0$ となる。$a\ne 0$ なので $a^2>4$、よって $a<-2,2<a$ である。

検算：$a=3$ のとき $f(t)=2t^3-9t^2+12$ で、$f(0)=12>0$、$f(3)=-15<0$ となり、異なる3実数解をもつ。