微分法と積分法の問題

**$f(x)$ の次数を決める**

$f(x)$ を $n$ 次式（$n\ge 0$）とし、最高次の係数を $a(a\ne 0)$ とする。$f^{\prime }(x)$ の最高次の項は $na{x}^{n-1}$ なので、$x{f}^{\prime }(x)$ の最高次の項は $na{x}^n$ である。よって $x{f}^{\prime }(x)-2f(x)$ の $x^n$ の係数は
$$na-2a=(n-2)a$$
となる。

• $n\ge 4$ のとき、$(n-2)a\ne 0$ より左辺は $n$ 次式になり、右辺（3 次式）と一致しない。
• $n\le 2$ のとき、左辺の次数は $2$ 以下であり、右辺と一致しない。

したがって $n=3$ であり、$x^3$ の係数を比べると $(3-2)a=1$ より $a=1$ である。

係数を比較する

$f(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$（$p,q,r$ は実数）とおくと、$f^{\prime }(x)=3x^2+2px+q$ である。
$$x{f}^{\prime }(x)=3x^3+2p{x}^2+qx$$
$$2f(x)=2x^3+2p{x}^2+2qx+2r$$
より
$$x{f}^{\prime }(x)-2f(x)=x^3-qx-2r$$
となる。これが $x^3-4x+6$ と恒等的に等しいので、$-q=-4$、$-2r=6$ である。よって $q=4$、$r=-3$ となる。$x^2$ の係数は両辺とも $0$ なので、$p$ はこの条件だけでは決まらない。

極限の条件を使う
$$\frac{f(2+h)-f(2-3h)}{h}=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}+3\cdot \frac{f(2-3h)-f(2)}{-3h}$$
と変形する。$h\to 0$ のとき $-3h\to 0$ であるから、右辺は
$$f^{\prime }(2)+3f^{\prime }(2)=4f^{\prime }(2)$$
に収束する。よって $4f^{\prime }(2)=32$、すなわち $f^{\prime }(2)=8$ である。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2px+4$ より
$$f^{\prime }(2)=12+4p+4=16+4p$$
である。$16+4p=8$ を解くと $p=-2$ となる。

以上より
$$f(x)=x^3-2x^2+4x-3$$
である。

検算

$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+4$ より
$$x{f}^{\prime }(x)-2f(x)=(3x^3-4x^2+4x)-(2x^3-4x^2+8x-6)=x^3-4x+6$$
となり、条件を満たす。また $f^{\prime }(2)=12-8+4=8$ も成り立つ。

答え
$$f(3)=27-18+12-3=18$$

$f(x)=\sum a_n{x}^n$ とおく。$x^n$ の係数を比較すると $(n-2)a_n$ が右辺の $x^n$ の係数に等しい。
- $x^3$: $a_3=1$
- $x^1$: $-a_1=-4$ より $a_1=4$
- $x^0$: $-2a_0=6$ より $a_0=-3$
- $x^2$: $0\cdot a_2=0$ なので $a_2$ は任意
- 4次以上: $a_n=0$

よって $f(x)=x^3+a{x}^2+4x-3$ とおける。

極限は $\frac{f(2+h)-f(2-3h)}{h}=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}+3\cdot \frac{f(2-3h)-f(2)}{-3h}\to f^{\prime }(2)+3f^{\prime }(2)=4f^{\prime }(2)$。したがって $4f^{\prime }(2)=32$ より $f^{\prime }(2)=8$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+4$ なので $f^{\prime }(2)=12+4a+4=8$ より $a=-2$。

$f(x)=x^3-2x^2+4x-3$。

検算: $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+4$ より $x{f}^{\prime }-2f=3x^3-4x^2+4x-2x^3+4x^2-8x+6=x^3-4x+6$ となり成立。

$f(3)=27-18+12-3=18$。